A kör
A kör területe
Egyetlen adat elég hozzá: a sugár, az átmérő vagy a kerület. Itt mind a három útvonal megvan, ábrával, levezetéssel és azzal együtt, hogy melyik lépésnél szokott elcsúszni.
Röviden a válasz
A kör területe a sugár négyzetének és a π-nek a szorzata: T = r2 · π. Ha a sugár 5 cm, akkor T = 52 · 3,14 = 78,5 cm² (π ≈ 3,14).
Ha átmérőt kaptál, feleződ: r = d2, és úgy helyettesítesz be. Ha kerületet, akkor r = K2π. Mindkét esetben csak egyetlen osztás áll a képlet és a megoldás között.
Körterület-kalkulátor
Elég egyetlen adat: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többi hármat kiszámoljuk hozzá.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A kör területének képlete
A képletben r a sugár: a középpontot a körvonal egy pontjával összekötő szakasz. A terület a sugár négyzetével arányos, nem magával a sugárral – ezért nő olyan gyorsan. Ha a sugarat megduplázod, a terület nem kétszeresére, hanem négyszeresére nő.
Miért éppen r²·π?
A képlet nem a semmiből jön. Vágd fel a kört gondolatban sok egyforma, vékony körcikkre, majd rakd őket egymás mellé felváltva csúccsal fel, csúccsal le. Az így kapott alakzat annál pontosabban hasonlít egy téglalapra, minél több darabra vágtad.
- A téglalap magassága a körcikkek hossza, vagyis a sugár: m = r.
- A téglalap alapja a kerület fele, mert a körvonal fele került alulra, fele felülre: a = K2 = 2 · r · π2 = r · π.
- A téglalap területe tehát T = a · m = r · π · r = r2 · π.
Ez a levezetés egyben megmutatja, miért kapcsolódik olyan szorosan a terület és a kör kerülete: a két képletben ugyanaz a π áll, és a terület gyakorlatilag „a kerület fele szorozva a sugárral”.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Sugárból: r = 5 cm
Mekkora a kör területe, ha a sugara 5 cm? Számolj π ≈ 3,14 értékkel.
- Írd fel a képletet:T = r2 · π
- Helyettesíts be, és előbb emelj négyzetre:T = 52 · 3,14 = 25 · 3,14
- A szorzás elvégezve:T = 78,5 cm2
EredményT = 78,5 cm²
Kidolgozott példa · Átmérőből: d = 12 cm
Egy tányér átmérője 12 cm. Mekkora a területe?
- Először sugarat számolsz, mert a képlet azzal dolgozik:r = d2 = 122 = 6 cm
- Behelyettesítés a területképletbe:T = 62 · 3,14 = 36 · 3,14
- Az eredmény:T = 113,04 cm2
EredményT = 113,04 cm²
Ha gyakran kapsz átmérőt, megéri megjegyezni a rövidített alakot is: T = d2 · π4. Ezt részletesen a kör területe átmérőből oldalon vezetjük le.
Kidolgozott példa · Visszafelé: T = 50,24 cm², mekkora a sugár?
Egy kör területe 50,24 cm². Mekkora a sugara és az átmérője?
- Indulj a képletből, és rendezd át r2-re:r2 = Tπ = 50,243,14 = 16
- Vonj négyzetgyököt:r = √16 = 4 cm
- Az átmérő ennek a kétszerese:d = 2 · r = 8 cm
Eredményr = 4 cm, d = 8 cm
Melyik adatból hogyan jutsz a területhez?
| Amit tudsz | Képlet | Mikor jön elő |
|---|---|---|
| r sugár | T = r2 · π | Az alapeset, a feladatok többsége ilyen. |
| d átmérő | T = d2 · π4 | Csövek, tányérok, fatörzsek – ott mindig átmérőt mérnek. |
| K kerület | T = K24 · π | Ha egy kör alakú tárgyat körbemértél zsinórral. |
| r és α (körcikk) | T = r2 · π · α360° | Tortaszelet, kördiagram – lásd a körcikk területe oldalt. |
| R és r (körgyűrű) | T = (R2 − r2) · π | Cső keresztmetszete, sétány egy medence körül. |
A kerületből induló alak onnan jön, hogy r = K2π, és ezt négyzetre emelve behelyettesíted. Ha csak a képletek érdekelnek, minden változatot egy helyen találsz a kör területe képlet oldalon.
Mértékegységek és kerekítés
A területnél a mértékegység is négyzetre emelődik. Ha a sugár méterben van, a terület m²-ben jön ki; ha centiméterben, akkor cm²-ben. Átváltani a végén már nem szabad fejben: 1 m² nem 100 cm², hanem 10 000 cm². Ezért a legbiztonságosabb, ha még a behelyettesítés előtt azonos egységre hozod az adatokat.
Nagyobb feladatokban a kör területe ritkán a végeredmény: általában egy henger alapkörét számolod ki, hogy megkapd a henger térfogatát, vagy egy háromszög köré írt kör területét, amihez előbb a köré írt kör sugara kell.
Gyors önellenőrzés
Egy kör sugara 10 cm. Mekkora a területe π = 3,14 értékkel?
Hányszorosára nő a terület, ha a sugarat megháromszorozod?
Egy kör átmérője 2 m. Melyik a helyes első lépés?
Egy körlapból kivágsz egy feleakkora sugarú kört. Hányad része ez az eredetinek?
Gyakori kérdések
Mi a kör területének képlete?
A kör területe T = r2 · π, ahol r a sugár. Először a sugarat emeled négyzetre, és csak azt szorzod π-vel. A π értéke ≈ 3,14159, iskolai feladatokban általában 3,14-gyel számolunk.
Hogyan számolom ki a kör területét átmérőből?
Feleződ az átmérőt, és a kapott sugárral dolgozol: r = d2, majd T = r2 · π. Egy lépésben is felírható: T = d2 · π4. Ha d = 12 cm, akkor T = 144 · 3,144 = 113,04 cm².
Hogyan kapom meg a sugarat, ha a területet ismerem?
Oszd el a területet π-vel, majd vonj négyzetgyököt: r = √Tπ. Például T = 50,24 cm² esetén r = √16 = 4 cm.
Mennyivel számoljam a π-t?
Általános iskolában 3,14 a szokásos, középiskolában 3,1416 vagy a számológép π gombja. Mindig írd oda, melyikkel dolgoztál – a néhány századnyi eltérés így nem hiba.
Mi a különbség a kör területe és kerülete között?
A kerület a körvonal hossza (K = 2 · r · π), hosszúságegységben (cm, m). A terület a körlap nagysága (T = r2 · π), négyzetes egységben (cm², m²). A kerületben a sugár első hatványon, a területben négyzeten szerepel.
Miért négyzetes a mértékegység a kör területénél?
Mert a képletben r · r szorzat áll, tehát a hosszúságegység is önmagával szorzódik: cm · cm = cm². Ezért nem 100, hanem 10 000 a váltószám cm² és m² között.