Derékszögű háromszög átfogójának kiszámítása

Q: Hogyan számítjuk ki a derékszögű háromszög átfogóját?

Ha a két befogó ismert, a Pitagorasz-tétellel: c = √(a² + b²). Ha befogó és hegyesszög adott, akkor osztással: c = (a)/(sin α) vagy c = (b)/(cos α).

Q: Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit, ha az oldalak adottak?

Szögfüggvény inverzével: tg α = (a)/(b), ebből α megkapható, a másik szög pedig β = 90° - α. Például a = 20, b = 21 esetén α = 43,6° és β = 46,4°.

Q: Mit tegyek, ha a terület és az egyik befogó adott?

A T = (a · b)/(2) képletből számold ki a másik befogót (b = (2T)/(a)), majd a két befogóból Pitagorasz-tétellel az átfogót.

Átfogó kiszámítása

Add meg a két befogót, vagy egy befogót és egy hegyesszöget – az átfogót és az összes többi adatot is megkapod.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mennyi adat kell az átfogóhoz?

Pontosan kettő, és legalább az egyiknek hosszúságnak kell lennie. A derékszög ugyanis már eleve egy ismert adat, a két hegyesszög pedig egymásból következik (α + β = 90°), így két szög együtt csak az alakot rögzíti, a méretet nem.

Az átfogó kiszámítása a rendelkezésre álló adatok szerint
Amit ismersz	Képlet az átfogóra	Miért
két befogó (a, b)	c = √a² + b²	Pitagorasz-tétel
a befogó és α szöge	c = asin α	sin α = a / c átrendezve
b befogó és α	c = bcos α	cos α = b / c átrendezve
terület és egyik befogó	előbb b = 2Ta, majd Pitagorasz	a befogók magasságok is
az átfogóhoz tartozó súlyvonal	c = 2 · s_c	a súlyvonal az átfogó fele

Átfogó két befogóból

Kidolgozott példa · a = 20 cm és b = 21 cm befogó

Mekkora az átfogó, és mekkora a háromszög kerülete?

A Pitagorasz-tétel szerint:c² = 20² + 21²
A négyzetek összege:c² = 400 + 441 = 841
Gyököt vonunk:c = √841 = 29 cm
A kerület a három oldal összege:K = 20 + 21 + 29 = 70 cm

Eredményc = 29 cm, a kerület 70 cm

A 20–21–29 egy úgynevezett pitagoraszi számhármas: mindhárom oldal egész szám. A feladatgyűjtemények szeretik az ilyeneket, mert nem kell kerekíteni. A legtöbb valós esetben viszont irracionális szám lesz az eredmény, és két tizedesre kerekítünk.

Átfogó befogóból és szögből

Itt fordul meg a művelet iránya. A szögfüggvények definíciójában az átfogó a nevezőben van, ezért ha őt keressük, osztanunk kell.

A szöggel szemközti befogóbólc = asin α

A szög melletti befogóbólc = bcos α

Kidolgozott példa · a = 12 cm befogó, a vele szemközti szög α = 40°

Mekkora az átfogó és a másik befogó?

A szinusz definíciója:sin α = ac
Átrendezve az átfogóra:c = 12sin 40° = 120,6428
Az átfogó:c = 18,67 cm
A másik befogó tangenssel:b = 12tg 40° = 120,8391 = 14,3 cm
A másik hegyesszög:β = 90° − 40° = 50°

Eredményc = 18,67 cm, b = 14,3 cm, β = 50°

Átfogó területből és egy befogóból

Derékszögű háromszögben a két befogó merőleges egymásra, ezért egyik a másikhoz tartozó magasság is. Ebből a terület T = a · b2, vagyis a hiányzó befogó egy osztással megvan, és onnan a szokásos úton jutsz az átfogóhoz.

Kidolgozott példa · T = 54 cm² terület, a = 9 cm befogó

Mekkora az átfogó?

A területképletből a másik befogó:b = 2 · 549 = 1089 = 12 cm
Most már Pitagorasz jöhet:c = √9² + 12² = √81 + 144
Vagyis:c = √225 = 15 cm

Eredményc = 15 cm

Ugyanez a gondolatmenet működik akkor is, ha a kerület adott a befogó helyett – csak ott egyenletet kell rendezni. A hiányzó adatok pótlásának lépéseit a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldal foglalja össze, a befogók külön esetét pedig a befogó kiszámítása tárgyalja.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög befogói 15 cm és 36 cm. Mekkora az átfogó?

c = √225 + 1296 = √1521 = 39 cm.

A befogó 10 cm, a vele szemközti szög 30°. Mekkora az átfogó?

c = 10sin 30° = 100,5 = 20 cm. A 30°-os szöggel szemközti befogó mindig az átfogó fele.

Elég-e az átfogó kiszámításához, ha a két hegyesszöget ismerjük?

Nem. A két szögből csak a háromszög alakja derül ki, a mérete nem – legalább egy hosszúságadat kell mellé.

Gyakori kérdések

Hogyan számítjuk ki a derékszögű háromszög átfogóját?

Ha a két befogó ismert, a Pitagorasz-tétellel: c = √a² + b². Ha befogó és hegyesszög adott, akkor osztással: c = asin α vagy c = bcos α.

Hány adat kell a derékszögű háromszög kiszámításához?

Kettő, amelyek közül legalább az egyik oldal. A derékszög adottnak számít, a két hegyesszög pedig 90°-ra egészíti ki egymást, ezért két szögből még nem jön ki a méret.

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit, ha az oldalak adottak?

Szögfüggvény inverzével: tg α = ab, ebből α megkapható, a másik szög pedig β = 90° − α. Például a = 20, b = 21 esetén α = 43,6° és β = 46,4°.

Mit tegyek, ha a terület és az egyik befogó adott?

A T = a · b2 képletből számold ki a másik befogót (b = 2Ta), majd a két befogóból Pitagorasz-tétellel az átfogót.

Miért kell osztani, ha a szögből számolom az átfogót?

Mert a szinusz és a koszinusz definíciójában az átfogó a nevezőben szerepel: sin α = a / c. Ha c-t keresed, az egyenlet átrendezése osztást ad, és mivel a szinusz értéke 1-nél kisebb, az eredmény nagyobb lesz a befogónál – ahogy kell.