Derékszögű háromszög befogó kiszámítása – képlet, példa

Q: Hogyan számolom ki a befogót?

Az átfogóból és a másik befogóból kivonással: b = √(c² - a²). Ha szöged van, akkor szorzással: a = c · sin α az átfogóból, vagy a = b · tg α a másik befogóból.

Q: Melyik oldal a befogó?

Az a két oldal, amely a derékszöget közrefogja – a szokásos jelöléssel a és b. A harmadik, a derékszöggel szemközti oldal az átfogó, és az mindig hosszabb bármelyik befogónál.

Q: Mi a különbség a befogó és az átfogó kiszámítása között?

Az átfogóhoz a két befogó négyzetét összeadod, a befogóhoz viszont az átfogó négyzetéből vonod ki a másik befogó négyzetét. A művelet iránya az egyetlen, de kritikus különbség.

Q: Hogyan kapom meg a befogót a területből?

Derékszögű háromszögben T = (a · b)/(2), mert a két befogó merőleges egymásra. Innen a = (2 · T)/(b) – ehhez a másik befogót kell ismerned.

Q: Mit mond ki a befogótétel?

Azt, hogy a² = c · pa, vagyis a befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával. Akkor használd, ha a feladat vetülethosszakat ad meg.

Q: Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit, ha a befogók ismertek?

Tangenssel: tg α = (a)/(b), majd inverz tangenssel kapod a szöget. A másik hegyesszög ezután β = 90° - α.

Befogószámoló

Írd be az átfogót és a másik befogót (vagy egy szöget) – a hiányzó befogót kiemelve kapod meg.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Befogó az átfogóból és a másik befogóból

A befogók azok az oldalak, amelyek a derékszöget közrefogják – a szokásos jelöléssel a és b. Mindkettő rövidebb az átfogónál, ezért a Pitagorasz-tételt itt kivonós alakban használjuk.

Befogó a másik két oldalbólb = √c² − a²Az a² + b² = c² egyenletből b² = c² − a². Az átfogó négyzete a kisebbítendő, mindig.

Kidolgozott példa · Átfogó c = 25 cm, egyik befogó a = 15 cm

Mekkora a másik befogó?

Négyzetre emelünk:c² = 625 és a² = 225
Kivonunk:b² = 625 − 225 = 400
Gyököt vonunk:b = √400 = 20 cm
Ellenőrzés: a kapott befogó kisebb az átfogónál:20 < 25

Eredményb = 20 cm

Befogó szögből

Ha egy hegyesszög is adott, nem kell a másik befogó. Az számít, hogy a keresett befogó a szöggel szemben vagy mellette van-e.

Átfogóból, a szöggel szemközti befogóa = c · sin α

Átfogóból, a szög melletti befogób = c · cos α

A másik befogóból, tangenssela = b · tg α

Területből és a másik befogóbóla = 2 · Tb

Kidolgozott példa · Átfogó c = 30 cm, α = 36°

Mekkora a két befogó?

Az α-val szemközti befogó szinusszal:a = 30 · sin 36° = 30 · 0,58779
Vagyis:a = 17,63 cm
Az α melletti befogó koszinusszal:b = 30 · cos 36° = 30 · 0,80902 = 24,27 cm
Ellenőrzés Pitagorasszal:17,63² + 24,27² = 310,8 + 589,0 = 899,8 ~ 900

Eredménya = 17,63 cm, b = 24,27 cm

A befogótétel

Ha a derékszögből merőlegest húzol az átfogóra, az átfogó két darabra esik. A befogótétel szerint mindegyik befogó mértani közepe az átfogónak és a saját átfogóra eső vetületének.

Befogótétela² = c · p_aItt p_a az a befogó merőleges vetülete az átfogón. A tétel akkor hasznos, ha a feladat vetületeket ad meg oldalak helyett.

Kidolgozott példa · Átfogó c = 25 cm, az a befogó vetülete 9 cm

Mekkora az a befogó?

A befogótétel szerint:a² = c · p_a = 25 · 9 = 225
Gyököt vonunk:a = √225 = 15 cm
A másik vetület a maradék, így ellenőrizhető a másik befogó is:b = √25 · 16 = √400 = 20 cm

Eredménya = 15 cm

Melyik módszer melyik adatból?

Befogószámítás a megadott adatok szerint
Amit ismersz	Képlet	Művelet
Átfogó és a másik befogó	b = √c² − a²	kivonás, majd gyökvonás
Átfogó és a szemközti szög	a = c · sin α	szorzás
Átfogó és a melletti szög	b = c · cos α	szorzás
Másik befogó és szög	a = b · tg α	szorzás
Terület és a másik befogó	a = 2 · Tb	osztás
Átfogó és a vetület	a = √c · p_a	befogótétel

A fordított feladatot – vagyis az átfogó keresését – a háromszög átfogó számítás oldalon nézd meg, a teljes áttekintés pedig a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon van.

Gyors önellenőrzés

Az átfogó 61 cm, az egyik befogó 60 cm. Mekkora a másik?

b = √3721 − 3600 = √121 = 11 cm.

A terület 126 cm², az egyik befogó 14 cm. Mekkora a másik befogó?

T = a · b2 átrendezve: b = 2 · 12614 = 18 cm.

Lehet-e a befogó hosszabb az átfogónál?

Nem. Az átfogó a legnagyobb szöggel, a derékszöggel szemközti oldal, ezért mindig ő a leghosszabb. Ha mást kaptál, a kivonás iránya vagy az oldalak szerepe csúszott el.

Gyakori kérdések

Hogyan számolom ki a befogót?

Az átfogóból és a másik befogóból kivonással: b = √c² − a². Ha szöged van, akkor szorzással: a = c · sin α az átfogóból, vagy a = b · tg α a másik befogóból.

Melyik oldal a befogó?

Az a két oldal, amely a derékszöget közrefogja – a szokásos jelöléssel a és b. A harmadik, a derékszöggel szemközti oldal az átfogó, és az mindig hosszabb bármelyik befogónál.

Mi a különbség a befogó és az átfogó kiszámítása között?

Az átfogóhoz a két befogó négyzetét összeadod, a befogóhoz viszont az átfogó négyzetéből vonod ki a másik befogó négyzetét. A művelet iránya az egyetlen, de kritikus különbség.

Hogyan kapom meg a befogót a területből?

Derékszögű háromszögben T = a · b2, mert a két befogó merőleges egymásra. Innen a = 2 · Tb – ehhez a másik befogót kell ismerned.

Mit mond ki a befogótétel?

Azt, hogy a² = c · p_a, vagyis a befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének szorzatával. Akkor használd, ha a feladat vetülethosszakat ad meg.

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit, ha a befogók ismertek?

Tangenssel: tg α = ab, majd inverz tangenssel kapod a szöget. A másik hegyesszög ezután β = 90° − α.