Oldalak kiszámítása
Háromszög átfogó számítás
Az átfogó a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal. Két befogóból egyetlen gyökvonás, befogóból és szögből egy osztás – itt mindkét út végig van vezetve.
Röviden a válasz
Két befogóból az átfogó a Pitagorasz-tétellel jön ki: c = √a2 + b2. Emeld négyzetre a két befogót, add össze őket, és vonj gyököt – ennyi az egész.
Ha csak az egyik befogót ismered egy hegyesszöggel együtt, akkor osztás kell: c = asin α, ahol α az a befogóval szemközti szög. Átfogót csak derékszögű háromszögben számolunk, más háromszögben nincs ilyen oldal.
Átfogó számítás
Írd be a két befogót, vagy egy befogót és egy hegyesszöget – az átfogót azonnal megkapod.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Átfogó két befogóból
Ez a klasszikus eset. A Pitagorasz-tétel szerint a befogók négyzetének összege adja az átfogó négyzetét, tehát az átfogó ennek az összegnek a négyzetgyöke.
Kidolgozott példa · Befogók: a = 15 cm, b = 20 cm
Mekkora az átfogó?
- Négyzetre emelünk és összeadunk:c2 = 152 + 202 = 225 + 400 = 625
- Gyököt vonunk:c = √625 = 25 cm
- Becslés-ellenőrzés: az átfogó a nagyobbik befogó és a két befogó összege közé esik:20 < 25 < 35
Eredményc = 25 cm
Átfogó befogóból és szögből
Ha nincs meg mindkét befogó, de van egy hegyesszöged, a szinusz vagy a koszinusz segít. A trükk az, hogy az átfogó a nevezőben áll, ezért itt osztani kell, nem szorozni.
Kidolgozott példa · a = 18 cm befogó, α = 40°
Mekkora az átfogó, ha az α szög az a befogóval szemközti?
- A szinusz definíciója szerint:sin α = ac
- Átrendezve az átfogóra:c = asin α = 18sin 40°
- A szinusz értéke:sin 40° = 0,64279
- Elosztjuk:c = 180,64279 = 28,0 cm
Eredményc = 28,0 cm
Szöveges feladat: hova ér a létra?
A gyakorlati feladatokban az átfogó általában valamilyen ferde távolság: létra, tetőgerinc, rézsű, kifeszített kötél. A két befogó pedig a vízszintes és a függőleges távolság.
Kidolgozott példa · Létra: 1,4 m a faltól, 4,8 m magasan ér a falhoz
Milyen hosszú a létra?
- A fal és a talaj derékszöget zár be, a létra az átfogó:c2 = 1,42 + 4,82
- Számolunk:c2 = 1,96 + 23,04 = 25
- Gyököt vonunk:c = √25 = 5 m
EredményA létra 5 m hosszú.
Ez az 1,4-4,8-5 hármas a 7-24-25 arány ötödrésze. Ha észreveszed az ilyen arányokat, sokszor gyökvonás nélkül is megvan az eredmény – erről bővebben a háromszög oldalainak aránya oldalon írunk.
Mikor nincs átfogó?
Az „átfogó” szó csak derékszögű háromszögben értelmes, mert a derékszöggel szemközti oldalt nevezzük így. Ha a háromszögben nincs 90°-os szög, akkor nincs átfogója sem – ilyenkor a leghosszabb oldalt koszinusztétellel számolod, nem Pitagorasszal. A teljes áttekintés a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 20 cm és 21 cm. Mekkora az átfogó?
Az egyik befogó 12 cm, a vele szemközti szög 30°. Mekkora az átfogó?
Lehet-e az átfogó 9 cm, ha az egyik befogó 10 cm?
Gyakori kérdések
Hogyan számoljuk ki az átfogót?
Két befogóból a Pitagorasz-tétellel: c = √a2 + b2. Emeld négyzetre mindkét befogót, add össze, majd vonj gyököt az összegből.
Hogyan számolok átfogót, ha csak egy befogót és egy szöget tudok?
Ha a szöggel szemközti befogó ismert, c = asin α. Ha a szög melletti befogó, akkor c = bcos α. Mindkét esetben osztani kell, mert az átfogó a tört nevezőjében áll.
Melyik a háromszög átfogója?
A derékszöggel szemközti oldal, és egyben a háromszög leghosszabb oldala. A szokásos jelöléssel ez a c oldal, mert a derékszöget a C csúcshoz szoktuk rajzolni.
Van átfogója a nem derékszögű háromszögnek?
Nincs. Az átfogó fogalma a derékszöghöz kötődik. Hegyes- vagy tompaszögű háromszögben csak oldalakról beszélünk, és a hiányzó oldalt koszinusz- vagy szinusztétellel számoljuk.
Miért nem jó az a + b az átfogóra?
Mert a két befogó összege a háromszög két oldalán megtett kerülőút hossza, az átfogó viszont a rövidebb, egyenes út. A négyzetgyökös képlet mindig kisebb értéket ad, mint a + b.