Oldalak kiszámítása
Derékszögű háromszög átfogó számítás
Nem mindig a két befogó adott. Itt aszerint rendeztük a képleteket, hogy éppen mit tudsz a háromszögről – és minden esethez tartozik egy végigszámolt példa.
Röviden a válasz
Két befogóból az átfogó c = √a2 + b2. Ez a Pitagorasz-tétel, és csak derékszögű háromszögben érvényes.
Ha befogó helyett szöget ismersz, oszd a befogót a hozzá tartozó szögfüggvénnyel: c = asin α. Ha pedig az átfogóhoz tartozó súlyvonalat tudod, az átfogó annak pontosan a kétszerese.
Átfogó kalkulátor
Bármelyik két adat elég: két befogó, befogó és szög, vagy oldal és terület. Az átfogót nagyban kiemelve kapod.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Először döntsd el, mit ismersz
Az átfogó számítása mindig ugyanazzal a kérdéssel kezdődik: melyik két adat van megadva? A derékszög már egy adat, ezért mellé elég két másik. A táblázat megmondja, melyik úton indulj:
| Ismert adatok | Az átfogó képlete | Melyik tétel |
|---|---|---|
| Mindkét befogó | c = √a2 + b2 | Pitagorasz-tétel |
| Befogó és a vele szemközti szög | c = asin α | Szinusz definíciója |
| Befogó és a mellette lévő szög | c = acos β | Koszinusz definíciója |
| Terület és az egyik befogó | előbb b = 2 · Ta, majd Pitagorasz | Területképlet |
| Az átfogóhoz tartozó súlyvonal | c = 2 · sc | Thalész-tétel |
Számítás két befogóból
A klasszikus eset. Fontos a sorrend: előbb négyzetre emelsz, csak utána adsz össze, és a gyökvonás a legvégén jön.
Kidolgozott példa · Befogók: 20 cm és 21 cm
Mekkora az átfogó?
- A Pitagorasz-tétel szerint:c2 = a2 + b2
- Négyzetre emelés:c2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841
- Gyökvonás:c = √841 = 29 cm
EredményAz átfogó c = 29 cm.
Számítás befogóból és szögből
Ha csak egy befogót és egy hegyesszöget ismersz, a szögfüggvényt átrendezed: a sin α = ac egyenletből c = asin α. Itt tehát osztás lesz a művelet, nem szorzás.
Kidolgozott példa · a = 12 cm befogó, α = 30° a szemközti szög
Mekkora az átfogó és a másik befogó?
- A szinusz definíciójából:sin 30° = 12c
- Átrendezve és behelyettesítve:c = 12sin 30° = 120,5 = 24 cm
- A másik befogó tangenssel:b = 12tg 30° = 120,5774 = 20,78 cm
EredményAz átfogó c = 24 cm, a másik befogó 20,78 cm.
Ritkább esetek: terület és súlyvonal
Ha a terület és az egyik befogó adott, két lépés kell. A területképletből b = 2 · Ta – mert derékszögű háromszögben a két befogó egymás magassága –, és a kapott befogóval már mehet a Pitagorasz-tétel.
Az átfogóhoz tartozó súlyvonal esete a legrövidebb: ez a súlyvonal a köré írt kör sugara, tehát az átfogó fele. A 20–21–29 háromszögben a súlyvonal 14,5 cm, és 2 · 14,5 = 29 cm – vissza is kaptuk az átfogót.
Gyors önellenőrzés
A befogók 9 és 40 cm. Mekkora az átfogó?
Az egyik befogó 15 cm, a mellette lévő szög 60°. Mekkora az átfogó?
Egy derékszögű háromszög területe 210 cm², az egyik befogó 20 cm. Mekkora az átfogó?
Gyakori kérdések
Mi az átfogó számításának képlete?
Két befogóból c = √a2 + b2. Ha befogó és szög adott, akkor osztani kell: c = asin α, ahol α az a befogóval szemközti szög.
Hogyan számolok átfogót, ha csak egy oldalt ismerek?
Egyetlen oldal kevés. A derékszög mellé még két adat kell: egy másik oldal, egy hegyesszög, a terület vagy a súlyvonal. Egy befogóból végtelen sok különböző derékszögű háromszög rajzolható.
Miért nem működik a Pitagorasz-tétel nem derékszögű háromszögre?
Mert a tétel épp a derékszögre épül. Általános háromszögben a koszinusztételt használd: c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ. Derékszögnél cos 90° = 0, és visszakapod a Pitagorasz-tételt.
Mekkora lehet legfeljebb az átfogó?
A két befogó összegénél mindig kisebb, és mindkettőnél nagyobb. Ez a háromszög-egyenlőtlenség, egyben a leggyorsabb ellenőrzés a számolásod végén.
Hány tizedesjegyre kerekítsem az átfogót?
Ha a feladat nem mond mást, két tizedesjegyre. A köztes eredményeket viszont ne kerekítsd, mert a hibák összeadódnak – tartsd a számológép memóriájában a gyök alatti értéket.