Nevezetes vonalak és pontok
Derékszögű háromszög beírt kör sugarának kiszámítása
A derékszögű esetre van egy villámgyors képlet, amihez még a területet sem kell kiszámolni. Az egyenlő szárúhoz a terület és a félkerület kell – mindkettőt végigszámoljuk.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben a beírt kör sugara r = a + b − c2, ahol a és b a befogók, c az átfogó. Ez pár másodperces fejszámolás: add össze a befogókat, vond ki az átfogót, és felezd.
Bármilyen más háromszögben – így egyenlő szárúban is – a r = Ts képlet működik, ahol T a terület, s = a + b + c2 pedig a félkerület.
Beírt kör sugara – derékszögű háromszög
Add meg a két befogót (vagy bármely két adatot), és megkapod a beírt kör $r$ sugarát.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A beírt kör és a sugara
A beírt kör mindhárom oldalt belülről érinti. Középpontja a szögfelezők metszéspontja, mert a szögfelező pontjai egyenlő távol vannak a szög két szárától. A sugár az a merőleges távolság, amennyire ez a középpont az oldalaktól van.
Honnan jön a derékszögű képlet? A derékszög csúcsánál a kör az egyik befogót r távolságban érinti, a másikat is – vagyis ott egy r oldalú négyzet keletkezik. A csúcsokból húzott érintőszakaszok páronként egyenlők, ezért a − r és b − r összege épp az átfogó: a − r + b − r = c. Ezt átrendezve kapod a képletet.
Példa: derékszögű háromszög
Kidolgozott példa · Befogók: 5 cm és 12 cm
Mekkora a beírt kör sugara?
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √52 + 122 = √169 = 13 cm
- A gyors képlettel:r = 5 + 12 − 132 = 42 = 2 cm
- Ellenőrzés a területtel – a befogók merőlegesek, ezért:T = 5 · 122 = 30 cm2
- Félkerület és a sugár:s = 5 + 12 + 132 = 15 cm, r = 3015 = 2 cm
Eredményr = 2 cm
Egyenlő szárú háromszög beírt körének sugara
Itt nincs rövidítés, a r = Ts képlet a járható út. A terület az alaphoz tartozó magasságból jön, a magasság pedig Pitagorasz-tétellel, mert a magasság felezi az alapot.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú: alap 16 cm, szárak 10 cm
Mekkora a beírt kör sugara?
- Az alaphoz tartozó magasság (a fél alap 8 cm):m = √102 − 82 = √36 = 6 cm
- A terület:T = 16 · 62 = 48 cm2
- A félkerület:s = 16 + 10 + 102 = 18 cm
- A sugár:r = 4818 = 2,67 cm
Eredményr = 2,67 cm
Összefoglaló táblázat
| Háromszög | Képlet | Példa |
|---|---|---|
| Derékszögű | r = a + b − c2 | 5–12–13 cm → r = 2 cm |
| Egyenlő szárú | r = a · ma + 2 · b | 16–10–10 cm → r = 2,67 cm |
| Szabályos | r = a · √36 | a = 6 cm → r = 1,73 cm |
| Általános | r = Ts | Héron-területtel bármikor |
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 40 cm, átfogója 41 cm. Mekkora r?
Mekkora a beírt kör területe az 5–12–13 cm-es háromszögben?
Lehet-e a beírt kör sugara nagyobb, mint a legrövidebb magasság fele?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög beírt körének sugarát?
A befogók összegéből vond ki az átfogót, és felezd: r = a + b − c2. Egy 5–12–13 cm-es háromszögben ez 5 + 12 − 132 = 2 cm.
Hogyan kapom meg az egyenlő szárú háromszög beírt körének sugarát?
A r = Ts képlettel. Az alaphoz tartozó magasság √b2 − (a2)2, ebből a terület, a félkerület pedig a2 + b. A 16–10–10 cm-es háromszögben r = 4818 = 2,67 cm.
Miért igaz a derékszögű háromszögre a rövid képlet?
Mert a derékszög csúcsánál a kör érintési pontjai r oldalú négyzetet határolnak, a másik két csúcsból húzott érintőszakaszok pedig párosával egyenlők. Ebből a − r + b − r = c adódik.
Hol van a beírt kör középpontja?
A szögfelezők metszéspontjában, és mindig a háromszög belsejében – akkor is, ha a háromszög tompaszögű. Ez a pont mindhárom oldaltól ugyanolyan messze van.
Mi a különbség a beírt és a köré írható kör sugara között?
A beírt kör az oldalakat érinti belülről (r), a köré írható kör pedig a csúcsokon megy át (R). Derékszögű háromszögben R = c2, ami mindig jóval nagyobb, mint r.