Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög beírt köre
A beírt kör a háromszög belsejébe simuló legnagyobb kör. Itt a középpontjáról, a sugaráról és az érintési pontjairól van szó – arról, amivel a feladatok valójában dolgoznak.
Röviden a válasz
A háromszög beírt köre az a kör, amely mindhárom oldalt belülről érinti. A középpontja a három szögfelező metszéspontja, mert ez a pont van mindhárom oldaltól egyenlő távolságra.
A sugara r = Ts, ahol T a terület, s = a + b + c2 pedig a félkerület. Derékszögű háromszögben ennél is egyszerűbb: r = a + b − c2.
Beírt kör sugara – kalkulátor
Add meg a három oldalt, és megkapod a beírt kör r sugarát (a többi adattal együtt).
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Hol van a beírt kör középpontja?
A szögfelező azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek a szög két szárától egyenlő távol vannak. Ezért ha egy pont rajta van két szögfelezőn, akkor mindhárom oldaltól ugyanolyan messze van – és pont ez kell ahhoz, hogy egy kör mindhárom oldalt érintse.
- A középpont jele általában Ob vagy K, és mindig a háromszög belsejében van – tompaszögű háromszögben is.
- A közös távolság maga a beírt kör sugara, r.
- Az érintési pontokban a sugár merőleges az oldalra – ez a legtöbb számolás kiindulópontja.
A beírt kör sugarának képlete
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 15 cm, c = 20 cm
Mekkora a beírt kör sugara, és hol érinti a kör az oldalakat?
- Félkerület:s = 7 + 15 + 202 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · 14 · 6 · 1 = √1764 = 42 cm2
- A sugár:r = 4221 = 2 cm
- Az A csúcsból induló érintőszakaszok hossza:s − a = 21 − 7 = 14 cm
- A B csúcsból:s − b = 21 − 15 = 6 cm
- A C csúcsból:s − c = 21 − 20 = 1 cm
Eredményr = 2 cm; az érintőszakaszok 14, 6 és 1 cm hosszúak.
Az utolsó lépések ellenőrizhetők: egy csúcsból a kör két érintőszakasza egyenlő hosszú, ezért a c = 20 cm-es oldalnak 14 + 6 = 20 cm-nek kell kijönnie. Stimmel, és ugyanígy 14 + 1 = 15 és 6 + 1 = 7.
Derékszögű háromszög beírt köre
Derékszögű háromszögben a derékszög csúcsa felőli érintőszakaszok egy négyzetet zárnak be a körrel, amelynek oldala épp r. Innen jön a rövid képlet: a két befogó összegéből kivonod az átfogót, és felezel.
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög: befogók 9 cm és 12 cm
Mekkora a beírt kör sugara?
- Átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √92 + 122 = √225 = 15 cm
- A rövid képlettel:r = 9 + 12 − 152 = 62 = 3 cm
- Ellenőrzés az általános képlettel – terület és félkerület:T = 9 · 122 = 54 cm2, s = 9 + 12 + 152 = 18 cm
- Vagyis:r = 5418 = 3 cm
Eredményr = 3 cm
Ha kifejezetten derékszögű háromszöggel dolgozol, a részletes levezetést és több feladattípust a derékszögű háromszög beírt kör sugarának kiszámítása oldalon találsz.
Beírt kör és köré írható kör – mi a különbség?
| Beírt kör | Köré írható kör | |
|---|---|---|
| Mit érint / min megy át | Mindhárom oldalt érinti belülről. | Mindhárom csúcson átmegy. |
| Középpont | A szögfelezők metszéspontja. | Az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. |
| Hol van a középpont | Mindig a háromszög belsejében. | Belül, az oldalon vagy kívül – a szögektől függ. |
| Sugár | r = Ts | R = a · b · c4 · T |
A köré írható körről a háromszög köré írható kör oldalon, a középpontját kijelölő vonalakról pedig a háromszög szögfelezői oldalon olvashatsz többet.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög területe 60 cm², kerülete 40 cm. Mekkora a beírt kör sugara?
Egy derékszögű háromszög befogói 6 és 8 cm. Mekkora a beírt kör sugara?
Lehet-e a beírt kör középpontja a háromszögön kívül?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög beírt köre?
Az a kör, amely mindhárom oldalt belülről érinti. Minden háromszögnek pontosan egy ilyen köre van, a középpontja a három szögfelező közös pontja.
Mi a beírt kör sugarának képlete?
r = Ts, ahol T a terület, s pedig a félkerület. Csak az oldalakból is megkapható: r = √(s-a)(s-b)(s-c)s.
Mekkora a derékszögű háromszög beírt körének sugara?
r = a + b − c2, ahol a és b a befogók, c az átfogó. Például 9 és 12 cm-es befogóknál az átfogó 15 cm, így r = 3 cm.
Hol van a beírt kör középpontja?
A három belső szögfelező metszéspontjában, ami mindig a háromszög belsejében van. Ez a pont mindhárom oldaltól ugyanakkora, r nagyságú távolságra esik.
Hogyan szerkesztem meg a beírt kört?
Szerkeszd meg két belső szög szögfelezőjét – a metszéspontjuk a középpont. Onnan állíts merőlegest az egyik oldalra: a talppontig mért távolság a sugár, ezzel már megrajzolható a kör.