Nevezetes vonalak és pontok
Derékszögű háromszög köré írható kör sugara
Ez a legkönnyebb eset az összes közül: nem kell Héron-képlet, nem kell szinusztétel – elég az átfogót elfelezni. A befogókból pedig egy Pitagorasz-tétel vezet oda.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben a köré írható kör sugara az átfogó fele: R = c2. A kör középpontja pontosan az átfogó felezőpontja, tehát az átfogó a kör átmérője.
Ha csak a befogók ismertek, előbb Pitagorasz-tétellel számold ki az átfogót, aztán felezz. Például 8 és 15 cm-es befogóknál c = 17 cm, így R = 8,5 cm.
Derékszögű háromszög: köré írható kör sugara
Elég két adat (két befogó, befogó és átfogó, vagy oldal és hegyesszög) – a kiemelt $R$ mindig az átfogó fele lesz.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a magyarázata
A képlet a Thalész-tétel megfordítása. A tétel szerint, ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely további pontjával, derékszögű háromszöget kapunk. Megfordítva: minden derékszögű háromszög belefektethető egy körbe úgy, hogy az átfogója éppen az átmérő legyen – ez a kör pedig nem más, mint a köré írható köre.
Számolás a befogókból
A feladatok többségében nem az átfogót kapod meg, hanem a két befogót. Ilyenkor két lépés az egész.
Kidolgozott példa · Befogók: 8 cm és 15 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √82 + 152 = √64 + 225 = √289
- Vagyis:c = 17 cm
- A sugár az átfogó fele:R = 172 = 8,5 cm
EredményR = 8,5 cm, a kör átmérője pedig 17 cm.
Kidolgozott példa · Befogók: 5 cm és 12 cm
Mekkora a köré írható kör sugara, és mekkora a kör területe?
- Az átfogó:c = √52 + 122 = √169 = 13 cm
- A sugár:R = 132 = 6,5 cm
- A körlap területe:R2 · π = 6,52 · 3,1416 = 132,73 cm2
EredményR = 6,5 cm, a kör területe pedig kb. 132,7 cm².
Visszafelé is működik: ha a köré írható kör sugara 8,5 cm, akkor az átfogó 17 cm. Ez tipikus szövegesfeladat-fordulat – a sugárból egy szorzással azonnal megvan a leghosszabb oldal.
Összehasonlítás: melyik háromszögnél mennyi a sugár?
Érdemes egy helyen látni, mennyivel egyszerűbb a derékszögű eset a többinél. A szabályos háromszög képlete szintén gyakran keresett, ezért az is itt van.
| Háromszög | Sugár | Példa |
|---|---|---|
| Derékszögű | R = c2 | c = 17 cm → R = 8,5 cm |
| Szabályos | R = a · √33 | a = 6 cm → R = 3,46 cm |
| Általános (3 oldalból) | R = a · b · c4 · T | A területet Héron-képlettel kapod meg. |
| Általános (oldal és szemközti szög) | R = a2 · sin α | A szinusztétel átrendezett alakja. |
A szabályos háromszög képlete egyébként a fenti szinuszos alakból jön: R = a2 · sin 60° = a√3 = a · √33. A többi képlet levezetése és használata a háromszög köré írható kör sugara oldalon található.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 20 cm. Mekkora a köré írható kör sugara?
A köré írható kör sugara 6,5 cm, az egyik befogó 5 cm. Mekkora a másik befogó?
Miért esik a középpont éppen az átfogóra?
Gyakori kérdések
Mekkora a derékszögű háromszög köré írható körének sugara?
Az átfogó fele: R = c2. Például 17 cm-es átfogónál a sugár 8,5 cm.
Hogyan számolom ki, ha csak a befogókat ismerem?
Előbb Pitagorasz-tétellel az átfogót: c = √a2 + b2, majd felezed. Az 5 és 12 cm-es befogókból c = 13 cm, tehát R = 6,5 cm.
Hol van a köré írható kör középpontja derékszögű háromszögben?
Pontosan az átfogó felezőpontjában. Ez az egyetlen háromszögtípus, ahol a középpont az egyik oldalra esik.
Mekkora a szabályos háromszög köré írható körének sugara?
R = a · √33, ami az oldal körülbelül 0,577-szerese. Egy 6 cm oldalú szabályos háromszögnél R = 3,46 cm.
Mi a kapcsolat a súlyvonal és a köré írható kör sugara között?
Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó súlyvonal pontosan a sugárral egyenlő, hiszen a derékszög csúcsát köti össze a kör középpontjával.