Magasság
Derékszögű háromszög magasságának kiszámítása
A képlet mindig ugyanaz – mc = a · bc –, csak az van hátra, hogy a hiányzó oldalt előbb elő kell állítani. Itt a három tipikus kiindulás.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben a befogókhoz tartozó magasságokat nem kell kiszámolni: ma = b és mb = a, mert a befogók merőlegesek egymásra. Az átfogóhoz tartozó magasság mc = a · bc.
Ha valamelyik oldal hiányzik, előbb azt pótold: Pitagorasz-tétellel a harmadik oldalt, szögfüggvénnyel pedig az átfogóból és egy szögből a két befogót.
Derékszögű háromszög magasságkalkulátor
Bármelyik két adat elég: két befogó, átfogó és befogó, vagy egy oldal és egy hegyesszög.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik adatpárból hogyan indulj?
A magasságképlet mindhárom oldalt igényli, a feladatok viszont csak kettőt adnak meg. Az első lépés tehát mindig a hiányzó oldal pótlása:
| Amit megadnak | Első lépés | Második lépés |
|---|---|---|
| Két befogó (a, b) | Átfogó: c = √a2 + b2 | mc = a · bc |
| Átfogó és egy befogó | Másik befogó: b = √c2 − a2 | mc = a · bc |
| Átfogó és egy hegyesszög | Befogók: a = c · sin α, b = c · cos α | mc = a · bc |
| Befogó és a vele szemközti szög | Átfogó: c = asin α | mc = a · bc |
Számítás a két befogóból
Kidolgozott példa · Befogók: 7 cm és 24 cm
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
- Átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √72 + 242 = √49 + 576 = √625 = 25 cm
- A magasság a befogók szorzatából:mc = 7 · 2425 = 16825
- Vagyis:mc = 6,72 cm
Eredménymc = 6,72 cm
Számítás átfogóból és egy befogóból
Ilyenkor a Pitagorasz-tételt kivonás irányban használod: a hiányzó befogó négyzete az átfogó és az ismert befogó négyzetének a különbsége.
Kidolgozott példa · Átfogó 17 cm, egyik befogó 8 cm
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
- A másik befogó:b = √172 − 82 = √289 − 64 = √225 = 15 cm
- A magasság:mc = 8 · 1517 = 12017
- Vagyis:mc = 7,06 cm
Eredménymc = 7,06 cm
Számítás egy oldalból és egy szögből
Ha szög is szerepel a feladatban, a két befogót szögfüggvénnyel állítod elő az átfogóból, utána minden megy a megszokott módon. Az oldalak pótlásáról részletesen a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon írunk.
Kidolgozott példa · Átfogó 20 cm, az egyik hegyesszög 35°
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
- Az α szöggel szemközti befogó:a = 20 · sin 35° = 20 · 0,5736 = 11,47 cm
- Az α szög melletti befogó:b = 20 · cos 35° = 20 · 0,8192 = 16,38 cm
- A magasság:mc = 11,47 · 16,3820
- Vagyis:mc = 9,40 cm
Eredménymc = 9,40 cm
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 20 cm és 21 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
Egy derékszögű háromszög befogói 7 cm és 24 cm. Mekkora a 24 cm-es oldalhoz tartozó magasság?
Miért nem lehet az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó fele?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög magasságát?
Az átfogóhoz tartozó magasság mc = a · bc, vagyis a befogók szorzata osztva az átfogóval. A befogókhoz tartozó magasságok maguk a befogók.
Mit csináljak, ha csak két adat van megadva?
Előbb pótold a hiányzó oldalt: két befogóból Pitagorasz-tétellel az átfogót, átfogóból és befogóból a másik befogót, szögből pedig c · sin α és c · cos α alakban a befogókat.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög oldalait?
Ha két oldal ismert, a harmadik a Pitagorasz-tételből jön: c2 = a2 + b2. Ha egy oldal és egy hegyesszög adott, szinusszal, koszinusszal vagy tangenssel dolgozz.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit?
A hegyesszögek összege 90°, tehát elég az egyiket megkeresni: tg α = ab, ahol a a szöggel szemközti, b a mellette lévő befogó. A másik szög ebből kivonással adódik.
Lehet-e az átfogóhoz tartozó magasság nagyobb valamelyik befogónál?
Nem. A magasság a két befogónál rövidebb szakasz, hiszen mindkét befogó átfogója egy-egy olyan derékszögű részháromszögnek, amelynek a magasság a befogója.