Derékszögű háromszög oldalainak aránya – 3:4:5 és társai

Q: Az oldalak arányából megkaphatók a szögek?

Igen, derékszögű háromszögben közvetlenül: tg α = (a)/(b) a két befogó arányából adja a hegyesszöget. A 3 : 4 arányú befogópárhoz 36,87° és 53,13° tartozik.

Q: Mekkora a 30–60–90 fokos háromszög oldalainak aránya?

1 : √(3) : 2. A 30°-os szöggel szemközti befogó az átfogó fele, a másik befogó pedig ennek √(3) ≈ 1,732-szerese. Ez a háromszög a szabályos háromszög fele.

Arányból szögek – derékszögű kalkulátor

Írd be az arányszámokat befogóként (például 3 és 4) – a szögek ugyanazok lesznek, mint a valódi méretű háromszögben.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mikor derékszögű egy arány?

Az általános háromszögnél bármilyen arány elfogadható, amíg a háromszög-egyenlőtlenség teljesül. Derékszögűnél viszont egyetlen feltétel dönt: a két kisebb arányszám négyzetösszege egyenlő legyen a legnagyobb négyzetével.

A derékszögűség próbájaa² + b² = c²A 2 : 3 : 4 arány például nem derékszögű, mert 4 + 9 = 13, ami nem 16. Az 5 : 12 : 13 viszont igen: 25 + 144 = 169.

A 3 : 4 : 5 arány

Ez a legrégebb óta használt derékszögű arány: már az építők is ezzel tűztek ki derékszöget egy 12 egységre csomózott kötéllel. Bármelyik többszöröse is derékszögű háromszöget ad.

Kidolgozott példa · Arány 3 : 4 : 5, kerület 84 cm

Mekkorák az oldalak, és mekkorák a szögek?

Az arányszámok összege 12, ezért a közös szorzó:k = 8412 = 7 cm
Az oldalak:a = 21, b = 28, c = 35 cm
Ellenőrzés:21² + 28² = 441 + 784 = 1225 = 35²
A kisebb hegyesszög a tangensből:tg α = 2128 = 0,75 → α = 36,87°

EredményAz oldalak 21, 28 és 35 cm, a szögek 36,87°, 53,13° és 90°. A terület 21 · 282 = 294 cm².

Pitagoraszi számhármasok – érdemes felismerni őket

Azokat az egész számhármasokat, amelyekre teljesül a Pitagorasz-tétel, pitagoraszi számhármasnak hívjuk. A tankönyvi feladatok szinte mindig ezek közül válogatnak, mert így nem lesz csúnya a gyök.

A leggyakoribb derékszögű oldalarányok
Arány	Ellenőrzés	Hegyesszögek
3 : 4 : 5	9 + 16 = 25	36,87° és 53,13°
5 : 12 : 13	25 + 144 = 169	22,62° és 67,38°
8 : 15 : 17	64 + 225 = 289	28,07° és 61,93°
7 : 24 : 25	49 + 576 = 625	16,26° és 73,74°
20 : 21 : 29	400 + 441 = 841	43,60° és 46,40°
9 : 40 : 41	81 + 1600 = 1681	12,68° és 77,32°

A többszörösök is működnek: a 6 : 8 : 10, a 9 : 12 : 15 és a 30 : 40 : 50 ugyanaz az arány, mint a 3 : 4 : 5. Ha egy feladatban ilyen számokat látsz, a gyökvonást ki is hagyhatod.

A két nevezetes szögarány

Két derékszögű háromszög aránya nem egész számokból áll, mégis ezeket kérdezik a legtöbbször, mert nevezetes szögekhez tartoznak.

45° – 45° – 90° (a négyzet fele)a : b : c = 1 : 1 : √2

30° – 60° – 90° (a szabályos háromszög fele)a : b : c = 1 : √3 : 2

Kidolgozott példa · 30° – 60° – 90°, az átfogó 10 cm

Mekkorák a befogók?

A 30°-os szöggel szemközti befogó az átfogó fele:a = 102 = 5 cm
A 60°-os szöggel szemközti befogó az arány szerint:b = 5 · √3 = 5 · 1,7321
Vagyis:b = 8,66 cm

EredményA befogók 5 cm és 8,66 cm – az arány valóban 1 : 1,73 : 2.

A 45°-os eset ugyanilyen egyszerű: ha a befogó 6 cm, az átfogó 6 · √2 = 8,49 cm. Ez a félszabályos háromszög és a négyzet átlójának közös aránya. Az arányokból kiinduló számolást a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldal viszi tovább.

Gyors önellenőrzés

Derékszögű-e a 6 : 7 : 9 arányú háromszög?

Nem, mert 36 + 49 = 85, ami nem egyenlő 81-gyel. Sőt, mivel 85 nagyobb 81-nél, a legnagyobb szög hegyesszög.

Egy derékszögű háromszög befogóinak aránya 1 : 1. Mekkorák a szögei?

45°, 45° és 90°. A két befogó egyenlő, tehát a háromszög egyenlő szárú, és a két hegyesszög megegyezik.

A befogók aránya 5 : 12, az átfogó 39 cm. Mekkorák a befogók?

Az arány 5 : 12 : 13, így k = 3913 = 3 cm, a befogók pedig 15 és 36 cm.

Gyakori kérdések

Mi a derékszögű háromszög oldalainak aránya?

Bármely olyan arány, amelyre teljesül a Pitagorasz-tétel. A leggyakoribbak a 3 : 4 : 5, az 5 : 12 : 13 és a 8 : 15 : 17, valamint a nevezetes 1 : 1 : √2 és 1 : √3 : 2 arány.

Miért derékszögű a 3 : 4 : 5 arányú háromszög?

Mert 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², vagyis a két rövidebb oldal négyzetösszege pontosan a leghosszabb oldal négyzete. A Pitagorasz-tétel megfordítása szerint ez elég a derékszögűséghez.

Az oldalak arányából megkaphatók a szögek?

Igen, derékszögű háromszögben közvetlenül: tg α = ab a két befogó arányából adja a hegyesszöget. A 3 : 4 arányú befogópárhoz 36,87° és 53,13° tartozik.

Mekkora a 30–60–90 fokos háromszög oldalainak aránya?

1 : √3 : 2. A 30°-os szöggel szemközti befogó az átfogó fele, a másik befogó pedig ennek √3 ≈ 1,732-szerese. Ez a háromszög a szabályos háromszög fele.

Honnan tudom, hogy egy arányból nem lesz derékszögű háromszög?

Emeld négyzetre a három számot: ha a két kisebb négyzetének összege nagyobb a legnagyobb négyzeténél, hegyesszögű a háromszög, ha kisebb, tompaszögű. Csak az egyenlőség jelent derékszöget.