MatematikaMódszertan– főoldal

Oldalak kiszámítása

Egyenlő szárú háromszög oldalainak kiszámítása

Minden számolás ugyanazon az egy ötleten múlik: az alaphoz tartozó magasság kettévágja a háromszöget két egybevágó derékszögű darabra – onnantól Pitagorasz vagy szögfüggvény.

Frissítve: 2 perc olvasás7–11. osztály

Röviden a válasz

Az egyenlő szárú háromszögben két oldal, a szárak egyenlők, a harmadik az alap. Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így a szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot: b2 = m2 + (a2)2.

Ebből az egy összefüggésből minden kijön: a szár b = √m2 + (a2)2, az alap a = 2 · √b2 − m2. Ha magasság helyett szöget kapsz, a szárszög felével számolj: a = 2 · b · sin(α2).

Egyenlő szárú háromszög oldalszámoló

Adj meg két adatot – alapot, szárat, magasságot vagy szöget –, és a hiányzó oldalak kiszámolódnak.

azonnal számol

Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.

Bemeneti adatok
a = 18 cmb = 15 cmc = 15 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    A szimmetriatengely, ami mindent megold

    Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus: a szárak közös csúcsából induló magasság egyben szögfelező és alapfelező is. Ez azt jelenti, hogy két egybevágó derékszögű háromszögre bontja az egészet, amelyek befogói a magasság és a fél alap, átfogója pedig a szár.

    maa = 18 cmb = 15 cmc = 15 cmABC
    A magasság felezi az alapot: 9 cm és 9 cm. A jobb oldali derékszögű darab befogói 9 cm és 12 cm, átfogója a 15 cm-es szár.
    A szár az alapból és a magasságbólb = √m2 + (a2)2
    Az alap a szárból és a magasságbóla = 2 · √b2 − m2
    Az alap a szárból és a szárszögbőla = 2 · b · sin(α2)
    A szár a kerületből és az alapbólb = K − a2

    Szár kiszámítása alapból és magasságból

    Kidolgozott példa · Alap 18 cm, magasság 12 cm

    Mekkorák a szárak?

    1. A magasság felezi az alapot, tehát a fél alap:182 = 9 cm
    2. A fél háromszögben Pitagorasz-tétel, ahol a szár az átfogó:b2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225
    3. Gyököt vonunk:b = √225 = 15 cm
    4. Ellenőrzés: a kerület ekkorK = 18 + 15 + 15 = 48 cm

    Eredményb = 15 cm mindkét szár

    maabcABC

    Alap kiszámítása szárból és magasságból

    Fordított irányban ugyanaz a derékszögű részháromszög dolgozik, csak most a befogót keressük, tehát kivonunk – majd a végén megduplázzuk az eredményt, mert a fél alapot kaptuk meg.

    Kidolgozott példa · Szár 20 cm, magasság 16 cm

    Mekkora az alap?

    1. A fél alap a Pitagorasz-tételből:(a2)2 = 202 − 162 = 400 − 256 = 144
    2. Gyököt vonunk:a2 = √144 = 12 cm
    3. A teljes alap ennek a kétszerese:a = 2 · 12 = 24 cm

    Eredménya = 24 cm

    maabcABC

    Oldalak kiszámítása szögekből

    Ha magasság helyett szöget kapsz, a fél háromszögben a szárszög fele lesz az egyik hegyesszög. Az alap felével szemben áll, a szár pedig az átfogó – innen a szinusz.

    Kidolgozott példa · Szár 14 cm, szárszög 50°

    Mekkora az alap?

    1. A magasság felezi a szárszöget, tehát a fél háromszögben a csúcsnál lévő szög:50°2 = 25°
    2. A fél alap a szinuszból:a2 = 14 · sin 25° = 14 · 0,42262 = 5,92 cm
    3. A teljes alap:a = 2 · 5,92 = 11,83 cm

    Eredménya = 11,83 cm

    αβγab = 14 cmc = 14 cmABC

    Az egyenlő szárú derékszögű háromszög

    Külön eset, amikor a szárszög éppen 90°. Ilyenkor a két szár a két befogó, az alap pedig az átfogó, az alapon fekvő szögek pedig 45°-osak. A Pitagorasz-tételből azonnal adódik az arány: az átfogó a befogó √2-szerese.

    Átfogó (alap) a szárbóla = b · √2
    Szár az átfogóból (alapból)b = a√2

    Kidolgozott példa · Egyenlő szárú derékszögű, szár 7 cm

    Mekkora az alap (az átfogó)?

    1. A két szár a befogó, tehát:a2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 98
    2. Gyököt vonunk:a = √98 = 7 · √2 = 9,90 cm
    3. Visszafelé, ha az átfogó adott (például 12 cm), a szár:b = 121,4142 = 8,49 cm

    Eredménya = 9,90 cm

    βγabcABC

    Gyors önellenőrzés

    Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 48 cm, az alapja 18 cm. Mekkora a szár?
    b = 48 − 182 = 302 = 15 cm.
    A szár 20 cm, az alap 24 cm. Mekkora az alaphoz tartozó magasság?
    A fél alap 12 cm, tehát m = √400 − 144 = √256 = 16 cm.
    Lehet-e az alap kétszer akkora, mint a szár?
    Nem. A háromszög-egyenlőtlenség szerint b + b > a kell, tehát az alap mindig kisebb a két szár összegénél. Pontosan kétszeres esetben a három pont egy egyenesre esne.

    Gyakori kérdések

    Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög szárát?

    Az alapból és a magasságból: b = √m2 + (a2)2. A kerületből és az alapból még egyszerűbb: b = K − a2, hiszen a két szár egyenlő.

    Hogyan számolom ki az alapot?

    Szárból és magasságból: a = 2 · √b2 − m2 – figyelj a végén a kétszerezésre. Szárból és szárszögből: a = 2 · b · sin(α2).

    Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög oldalainak aránya?

    A két szár egyenlő, az átfogó pedig a szár √2 ~ 1,414-szerese. Az arány tehát 1 : 1 : √2, a szögek pedig 45°, 45° és 90°.

    Hogyan kapom meg a magasságot, ha az oldalakat ismerem?

    A magasság az alaphoz: m = √b2 − (a2)2. Például b = 20 cm és a = 24 cm esetén m = √400 − 144 = 16 cm.

    Hogyan számolom ki a szögeit, ha az oldalakat tudom?

    A fél háromszögben cos β = a / 2b, ahol β az alapon fekvő szög. A szárszög ezután α = 180° − 2 · β. Az alapon fekvő két szög mindig egyenlő.

    Hova tovább?

    Az alap kiszámításaAz egyenlő szárú háromszög alapja kiszámolható a szárból és a magasságból, a kerületből, a terül…Az egyenlő szárú háromszög oldalaiAz egyenlő szárú háromszögnek két egyenlő szára és egy alapja van. Melyik a szár, melyik az alap…Egyenlő szárú háromszög magasságaAz egyenlő szárú háromszög magassága a szárból és a fél alapból, Pitagorasz-tétellel jön ki. Kép…Egyenlő szárú derékszögű háromszögAz egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei 45°, 45° és 90°, oldalainak aránya 1 : 1 : gyök 2. …Egyenlő szárú háromszög szögeiAz egyenlő szárú háromszög két alapon fekvő szöge egyenlő. Innen egyetlen szögből mind a három k…Derékszögű háromszög oldalaiDerékszögű háromszög oldalainak kiszámítása két adatból: Pitagorasz-tétel két oldalhoz, szögfügg…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.