Nevezetes vonalak és pontok
Derékszögű háromszög súlypontja
A derékszög csúcsát origónak véve a súlypont koordinátái fejben kijönnek – és a derékszög csúcsától mért távolsága is egyetlen osztás.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben a súlypont ugyanúgy a három súlyvonal metszéspontja, mint bármelyik másik háromszögben. A derékszög csúcsát origónak véve a koordinátái különösen egyszerűek: S(a3; b3), ahol a és b a két befogó.
A derékszög csúcsától mért távolsága c3, vagyis az átfogó harmada – mert az átfogóhoz tartozó súlyvonal c2, és ennek a kétharmadánál van a súlypont.
Átfogó-kalkulátor a súlypont távolságához
Add meg a két befogót. A kiemelt átfogó **harmada** adja meg, milyen messze van a súlypont a derékszög csúcsától.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A súlypont helye derékszögű háromszögben
A derékszögű háromszögnél a legkényelmesebb koordináta-rendszert magad választhatod: tedd a derékszög C csúcsát az origóba, a két befogót pedig a tengelyekre. Ekkor a csúcsok C(0; 0), B(a; 0) és A(0; b), a súlypont koordinátái pedig a csúcsok átlagai.
A derékszög csúcsától mért távolság külön is megjegyezhető. Az átfogóhoz tartozó súlyvonal ugyanis az átfogó fele (c2), a súlypont pedig ennek a kétharmadánál van, tehát CS = 23 · c2 = c3.
Kidolgozott példa
Kidolgozott példa · Befogók: 12 cm és 9 cm
Hol van a súlypont, és milyen messze van a derékszög csúcsától?
- Az átfogó:c = √122 + 92 = √225 = 15 cm
- A derékszög csúcsa az origóban, a csúcsok tehát C(0; 0), B(12; 0), A(0; 9):S = (0 + 12 + 03; 0 + 0 + 93) = (4; 3)
- A derékszög csúcsától mért távolság:CS = √42 + 32 = 5 cm
- Ellenőrzés a rövid képlettel:CS = c3 = 153 = 5 cm
EredményS(4; 3), a derékszög csúcsától 5 cm-re.
A négy nevezetes pont derékszögű háromszögben
Derékszögű háromszögben két nevezetes pont helye „elárulja magát": a magasságpont a derékszög csúcsába, a köré írható kör középpontja pedig az átfogó felezőpontjába esik. A súlypont ezekhez képest külön helyen van.
| Pont | Hol van | Koordináták |
|---|---|---|
| Súlypont (S) | a befogók harmadánál | (4; 3) |
| Magasságpont (M) | a derékszög csúcsában | (0; 0) |
| Köré írható kör közepe (K) | az átfogó felezőpontjában | (6; 4,5) |
| Beírt kör közepe (O) | a befogóktól r = 3 cm-re | (3; 3) |
A beírt kör sugara itt r = 12 + 9 − 152 = 3 cm – a képlet levezetése a derékszögű háromszög beírt körének sugara oldalon van. Jól látszik, hogy a négy pont négy különböző helyen áll, pedig a háromszög még csak nem is „szabálytalan".
Egyenlő szárú derékszögű háromszög
Ha a két befogó egyenlő, a súlypont az átfogóhoz tartozó súlyvonalra, vagyis a szimmetriatengelyre esik. Egy 6 cm-es befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögben S(2; 2), az átfogó pedig 6 · √2 = 8,49 cm – a súlypont a derékszög csúcsától 8,493 = 2,83 cm-re van.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 3 cm és 6 cm, a derékszög csúcsa az origóban. Hol a súlypont?
Az átfogó 21 cm. Milyen messze van a súlypont a derékszög csúcsától?
Rajta van-e a súlypont az átfogóhoz tartozó súlyvonalon?
A súlypont általános tulajdonságairól a háromszög súlypontja oldalon, a derékszögű háromszög súlyvonalainak hosszáról pedig a derékszögű háromszög súlyvonala oldalon olvashatsz.
Gyakori kérdések
Hol van a derékszögű háromszög súlypontja?
A háromszög belsejében, a derékszög csúcsától mérve a befogók harmadánál. Ha a derékszög csúcsa az origó, a súlypont koordinátái (a3; b3).
Milyen messze van a súlypont a derékszög csúcsától?
Pontosan az átfogó harmadára: CS = c3. Egy 15 cm átfogójú háromszögben ez 5 cm.
A súlypont az átfogó felezőpontja?
Nem. Az átfogó felezőpontja a köré írható kör középpontja. A súlypont ettől a ponttól a derékszög csúcsa felé, az átfogóhoz tartozó súlyvonal harmadánál van.
Hogyan szerkesztem meg a súlypontot?
Felezd meg két oldalt, kösd össze a felezőpontokat a szemközti csúcsokkal, és a két súlyvonal metszéspontja lesz a súlypont. Derékszögű háromszögben elég az átfogó felezőpontját megszerkeszteni, azt összekötni a derékszög csúcsával, és a szakaszt harmadolni.
Milyen messze van a súlypont az átfogótól?
Az átfogóhoz tartozó magasság harmadára: mc3. A 12–9–15 cm-es háromszögben mc = 7,2 cm, tehát a súlypont 2,4 cm-re van az átfogótól.