Derékszögű háromszög szögeinek kiszámítása oldalakból

Derékszögű háromszög szögkalkulátor

Írd be a két ismert oldalt – a hegyesszögeket fokban kapod meg, a harmadik oldallal együtt.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Melyik szögfüggvény kell? – a szemközti–melletti szabály

A derékszög a C csúcsnál van, tehát c az átfogó, a és b a két befogó. Egy hegyesszög szempontjából a három oldalnak külön neve van: az átfogó, a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó.

szemközti és átfogó → szinuszsin α = szemközti befogóátfogó = ac

melletti és átfogó → koszinuszcos α = melletti befogóátfogó = bc

a két befogó → tangenstg α = szemköztimelletti = ab

A választás mechanikus: nézd meg, melyik két oldalt ismered, és az a függvény kell, amelyik pont ezt a kettőt köti össze. Sose keresd meg előbb a hiányzó harmadik oldalt Pitagorasz-tétellel – felesleges munka, és kerekítési hibát visz be. Ha nem derékszögű háromszöggel dolgozol, a háromszög szögszámítás oldalon találod a többi módszert.

Az α szöggel szemközt az a = 8 cm befogó van, mellette a b = 15 cm, az átfogó pedig c = 17 cm.

Két befogóból: tangens

Ez a leggyakoribb eset, mert a befogók a rajzon a „vízszintes és a függőleges”. A tangens hányadosából inverz tangenssel kapod a szöget.

Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 15 cm befogók

Mekkorák a hegyesszögek?

Az α szöggel szemközti befogó a, a melletti b – ez a tangens esete:tg α = ab = 815 = 0,5333
Inverz tangenssel:α = tg^-1 0,5333 = 28,07°
A másik hegyesszög a pótszög:β = 90° − 28,07° = 61,93°
Ellenőrzés:28,07° + 61,93° + 90° = 180°

Eredményα = 28,07° és β = 61,93°

Befogóból és átfogóból: szinusz vagy koszinusz

Ha az átfogót ismered az egyik befogóval, akkor azon múlik a választás, hogy a befogó a keresett szöggel szemközt van-e (szinusz), vagy mellette (koszinusz).

Kidolgozott példa · c = 20 cm átfogó, a = 12 cm befogó

Mekkora az a befogóval szemközti α szög?

Szemközti befogó és átfogó → szinusz:sin α = ac = 1220 = 0,6
Inverz szinusszal:α = sin^-1 0,6 = 36,87°
A másik hegyesszög:β = 90° − 36,87° = 53,13°
A harmadik oldal (ha kell): Pitagorasz-tétellelb = √20² − 12² = √256 = 16 cm

Eredményα = 36,87°, β = 53,13°

Ez a 12 − 16 − 20 háromszög a 3 − 4 − 5 arány négyszerese, ezért jönnek ki a jellegzetes 36,87° és 53,13° értékek. Ha ezeket a számokat látod, biztos lehetsz benne, hogy 3 : 4 : 5 arányú háromszöggel dolgozol.

Melyik gombot nyomd a számológépen
Ismert oldalak	Függvény	Gomb a szöghöz
Szemközti befogó + átfogó	sin	sin^-1 (shift + sin)
Melletti befogó + átfogó	cos	cos^-1 (shift + cos)
Mindkét befogó	tg	tg^-1 (shift + tan)
Egy hegyesszög már megvan	–	egyszerű kivonás: 90° − α

Mit írj le a dolgozatba?

A teljes megoldás négy sora

Jelöld be az ábrán, melyik oldal az átfogó, és melyik szöget keresed.
Írd fel a szögfüggvényt betűkkel, mielőtt számot helyettesítesz be – ezért is jár pont.
Helyettesíts be, és számold ki a hányadost, majd alkalmazd az inverz függvényt.
A másik hegyesszöget 90°-ból vond ki, végül ellenőrizd, hogy a három szög összege 180°.

Gyors önellenőrzés

a = 5 cm és b = 5 cm befogók. Mekkorák a hegyesszögek?

tg α = 55 = 1, tehát α = 45°, és így β = 45° is. Ez egyenlő szárú derékszögű háromszög.

Egy derékszögű háromszög átfogója 41 cm, az egyik befogója 9 cm. Mekkora a befogóval szemközti szög?

sin α = 941 = 0,2195, ebből α = 12,68°. A másik hegyesszög 90° − 12,68° = 77,32°.

Miért nem kell külön kiszámolni a harmadik szöget?

Mert az mindig 90°: a derékszögű háromszög definíció szerint tartalmaz egy derékszöget, a másik kettő pedig együtt adja a maradék 90°-ot.

Gyakori kérdések

Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit oldalakból?

Válaszd ki azt a szögfüggvényt, amelyik a két ismert oldalt köti össze (sin, cos vagy tg), számold ki a hányadost, majd alkalmazd rá az inverz függvényt. A másik hegyesszög 90° mínusz a kapott szög.

Elég két oldal a szögek kiszámításához?

Igen. A derékszög miatt a harmadik oldal Pitagorasz-tétellel adódik, tehát két oldal már egyértelműen meghatározza a háromszöget és mindkét hegyesszöget.

Mit jelent a sin⁻¹ gomb?

Az inverz szinuszt, vagyis azt a szöget, amelynek a szinusza a beírt szám. Ha sin α = 0,6, akkor α = sin^-1 0,6 = 36,87°. Ugyanígy működik a cos^-1 és a tg^-1 is.

Mennyi a derékszögű háromszög belső szögeinek összege?

180°, mint minden háromszögben. Ebből 90° maga a derékszög, ezért a két hegyesszög összege pontosan 90°.

Miért kap a számológép hibát a sin⁻¹ számolásnál?

Mert a beírt hányados nagyobb 1-nél. Ez azt jelenti, hogy felcserélted az átfogót a befogóval: a szinusz értéke derékszögű háromszögben soha nem lehet 1-nél nagyobb.