Szögszámítás
Derékszögű háromszög szögeinek számítása
A derékszögű háromszög szögeihez a legtöbbször nem kell számológép. Itt vannak a fejben végezhető lépések – és az is, hogyan fordítsd meg a számítást szögből oldalra.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben az egyik szög 90°, a másik kettő pedig együtt szintén 90°. Ezért ha az egyik hegyesszöget ismered, a másik egyetlen kivonás: β = 90° − α.
Ha oldalarányból indulsz, a nevezetes eseteket érdemes felismerni: az 1 : 1 : √2 arány 45°–45°–90°-ot, az 1 : √3 : 2 arány 30°–60°–90°-ot jelent.
Derékszögű háromszög kalkulátor
Bármely két adat elég: két oldal, vagy egy oldal és egy szög – a többit kiszámoljuk.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A 90°-os szabály: az első lépés mindig ez
A derékszögű háromszögben a C csúcsnál lévő szög 90°. Mivel a három belső szög összege 180°, a két hegyesszögre pontosan 90° marad. Egymás pótszögei.
Kidolgozott példa · Az egyik hegyesszög β = 24°
Mekkora a másik két szög?
- A derékszög adott:γ = 90°
- A másik hegyesszög a pótszög:α = 90° − 24° = 66°
- Ellenőrzés:66° + 24° + 90° = 180°
Eredményα = 66°, β = 24°, γ = 90°
Nevezetes háromszögek: felismerés az oldalakból
Két derékszögű háromszög annyira gyakori, hogy a szögeit érdemes fejből tudni. Ha az oldalak arányát felismered, a szögek azonnal megvannak – nem kell szögfüggvény.
| Oldalarány | Szögek | Honnan jön |
|---|---|---|
| 1 : 1 : √2 ≈ 1 : 1 : 1,414 | 45° – 45° – 90° | A négyzet fele, az átlója mentén elvágva. |
| 1 : √3 : 2 ≈ 1 : 1,732 : 2 | 30° – 60° – 90° | A szabályos háromszög fele, a magassága mentén elvágva. |
A második sor gyakorlati jele: ha az átfogó pont kétszerese az egyik befogónak, akkor az a befogó a 30°-os szöggel van szemközt. A 45°-os esetet pedig arról ismered fel, hogy a két befogó egyenlő – erről bővebben az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei oldalon.
Visszafelé: szögből oldalt
A feladatok gyakran fordítva kérdeznek: adott egy oldal és egy szög, és az oldalakat kell megkapni. Ilyenkor ugyanazt a három szögfüggvényt használod, csak nem az inverzüket – hanem szorzol vagy osztasz.
Kidolgozott példa · c = 10 cm átfogó, α = 30°
Mekkora a két befogó?
- Az α-val szemközti befogó szinusszal:a = c · sin α = 10 · sin 30° = 10 · 0,5
- Vagyis:a = 5 cm
- A melletti befogó koszinusszal:b = c · cos α = 10 · 0,8660
- Vagyis:b = 8,66 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:52 + 8,662 = 25 + 75 = 100 = 102
Eredménya = 5 cm, b = 8,66 cm – ez épp a nevezetes 30°–60°–90° háromszög.
Mikor kell mégis szögfüggvény?
Akkor, ha csak oldalakat ismersz, és azok nem nevezetes arányban állnak. Ilyenkor a hányadosból inverz függvénnyel kapod a szöget – például az 5 és 12 befogójú háromszögben tg α = 512 = 0,4167, amiből α = 22,62° és β = 67,38°. A módszer részletes leírása a szögek oldalakból oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 51,5°. Mekkora a másik?
Az átfogó 16 cm, az egyik befogó 8 cm. Szögfüggvény nélkül: mekkorák a szögek?
c = 12 cm, β = 60°. Mekkora a b befogó?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög szögeit?
Az egyik szög eleve 90°. Ha ismered az egyik hegyesszöget, a másik 90° mínusz az. Ha csak oldalakat ismersz, szögfüggvényt használsz: tg α = ab, sin α = ac vagy cos α = bc.
Mennyi a derékszögű háromszög szögeinek összege?
180°, ebből 90° a derékszög. A két hegyesszög összege ezért mindig pontosan 90°.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög oldalait szögből?
Az átfogóból a = c · sin α és b = c · cos α; egyik befogóból a másik a = b · tg α. Az eredményt Pitagorasz-tétellel ellenőrizheted.
Mekkorák a nevezetes derékszögű háromszögek szögei?
A négyzet fele 45°–45°–90°, oldalaránya 1 : 1 : √2. A szabályos háromszög fele 30°–60°–90°, oldalaránya 1 : √3 : 2.
Honnan tudom, hogy melyik szög van a nagyobb oldallal szemben?
A nagyobb oldallal mindig nagyobb szög van szemben. Ezért az átfogó – a leghosszabb oldal – a 90°-os szöggel szemközt van, a legrövidebb befogó pedig a legkisebb hegyesszöggel.