Területszámítás
Egyenlő szárú derékszögű háromszög területe
Ez a 45–45–90-es háromszög: a négyzet fele. Egyetlen adatból – akár a befogóból, akár az átfogóból – minden más következik, és a területhez soha nem kell külön magasságot számolni.
Röviden a válasz
Az egyenlő szárú derékszögű háromszög két befogója egyenlő, ezért a területe T = a22, ahol a a befogó (vagyis a szár) hossza.
Ha az átfogót ismered, nem kell befogót számolni: T = c24. Ez azért igaz, mert az átfogóhoz tartozó magasság pontosan az átfogó fele.
Egyenlő szárú derékszögű háromszög kalkulátor
Írd be ugyanazt a számot az a és b befogóhoz – vagy adj meg átfogót és 45°-os szöget.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik háromszögről van szó?
Egyetlen alakról: a szögei 90°, 45° és 45°, a két befogója egyenlő hosszú. Ez a négyzet fele, az átlója mentén elvágva – innen jön minden képlete.
Mivel a két befogó merőleges egymásra, egyikük a másik magassága. Ezért a területhez nem kell semmilyen külön szakaszt kiszámolni: a szokásos T = a · b2 képletben b helyére is a kerül.
Terület a befogóból
Kidolgozott példa · A befogó 8 cm
Számold ki a területet, az átfogót és a kerületet!
- A terület a befogó négyzetének a fele:T = 822 = 642 = 32 cm2
- Az átfogó a Pitagorasz-tételből:c = √82 + 82 = √128 = 8 · √2
- Számértékkel (√2 = 1,4142):c = 11,31 cm
- A kerület:K = 8 + 8 + 11,31 = 27,31 cm
EredményT = 32 cm², c = 11,31 cm, K = 27,31 cm
Terület az átfogóból
Ez a gyakoribb feladattípus, és sokan itt kerülőúton mennek: kiszámolják a befogót, majd négyzetre emelik és felezik. Nem kell – a c24 egy lépésben megvan.
Kidolgozott példa · Az átfogó 10 cm
Mekkora a terület, és mekkorák a befogók?
- Terület közvetlenül az átfogóból:T = 1024 = 1004 = 25 cm2
- Ellenőrzés a hosszú úton – a befogó:a = 10√2 = 7,07 cm
- Ebből a terület:T = 7,0722 = 49,982 = 24,99 cm2
EredményT = 25 cm², a befogók 7,07 cm hosszúak
Visszafelé: területből az oldalak
Kidolgozott példa · A terület 72 cm²
Mekkora a befogó és az átfogó?
- Indulj a befogós képletből:72 = a22
- Szorozz kettővel:a2 = 144
- Gyökvonás:a = 12 cm
- Az átfogó:c = 12 · √2 = 16,97 cm
EredményBefogók: 12 cm, átfogó: 16,97 cm, kerület: 40,97 cm
| Befogó | Átfogó | Terület | Kerület |
|---|---|---|---|
| 5 cm | 7,07 cm | 12,5 cm² | 17,07 cm |
| 8 cm | 11,31 cm | 32 cm² | 27,31 cm |
| 10 cm | 14,14 cm | 50 cm² | 34,14 cm |
| 12 cm | 16,97 cm | 72 cm² | 40,97 cm |
| 20 cm | 28,28 cm | 200 cm² | 68,28 cm |
Miért nem a szokásos egyenlő szárú képlet kell?
Az egyenlő szárú háromszög területénél először az alaphoz tartozó magasságot kell kiszámolni Pitagorasz-tétellel. Itt ez a lépés kimarad, mert az „alap" szerepét a másik befogó veszi át.
Ha mégis az átfogót tekinted alapnak, akkor is gyors az út: a magasság az átfogó fele. Vagyis ennél a háromszögnél mindkét felosztás egyszerű – ez teszi kedvelt feladattípussá.
- A szárak (befogók) egyenlők, a szárszög 90°, az alapon fekvő szögek 45°-osak.
- Az átfogó a befogó √2-szerese, tehát az arány 1 : 1 : √2.
- Az átfogóhoz tartozó magasság, súlyvonal és szögfelező ugyanaz a szakasz, hossza az átfogó fele.
- A köré írt kör sugara c2, mert az átfogó a kör átmérője (Thalész-tétel).
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 6 cm. Mekkora a területe?
Az átfogó 20 cm. Mekkora a terület?
Egy négyzet oldala 9 cm. Mekkora annak a háromszögnek a területe, amelyet az átló vág le belőle?
Gyakori kérdések
Mi az egyenlő szárú derékszögű háromszög területének képlete?
A befogóból T = a22, az átfogóból pedig T = c24. Mindkettő egyetlen adatból számol, magasságot nem kell külön keresni.
Mekkorák az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei?
Egy derékszög és két 45°-os szög. A két hegyesszög azért egyenlő, mert a velük szemközti befogók egyenlők, összegük pedig 90°.
Hogyan kapom meg az átfogót a befogóból?
c = a · √2, vagyis a befogó körülbelül 1,41-szerese. Fordítva a = c√2, ami a c körülbelül 0,707-szerese.
Miért a négyzet fele ez a háromszög?
Mert két egyenlő, merőleges befogója egy négyzet két szomszédos oldalának felel meg, az átfogója pedig a négyzet átlója. Az átló a négyzetet két egybevágó ilyen háromszögre bontja.
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
Pontosan az átfogó fele, mc = c2. Ez a szakasz egyben súlyvonal és szögfelező is, és a köré írt kör sugarával is megegyezik.