Kerület
Derékszögű háromszög kerülete
Itt a kerület kiszámolása ritkán csak összeadás: a feladat két oldalt ad meg, a harmadikat neked kell megkeresned – ehhez a Pitagorasz-tétel vagy egy szögfüggvény kell.
Röviden a válasz
A derékszögű háromszög kerülete is a három oldal összege: K = a + b + c, ahol a és b a két befogó, c pedig az átfogó.
Ha csak két oldal ismert, előbb Pitagorasz-tétellel pótold a harmadikat: c = √a2 + b2, illetve b = √c2 − a2. Az 5 és 12 cm befogójú háromszög átfogója 13 cm, így K = 30 cm.
Derékszögű háromszög kerület kalkulátor
Bármelyik két adat elég: két befogó, befogó és átfogó, vagy oldal és szög. A kerület mellett a területet is megkapod.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet ugyanaz, a feladat mégis nehezebb
A kerület minden háromszögben a három oldal összege, tehát külön „derékszögű kerületképlet” nincs. A nehézség máshol van: a feladatok ritkán adják meg mind a három oldalt. Tipikusan két oldalt kapsz, és a harmadikat neked kell kiszámolnod.
Kerület két befogóból
Kidolgozott példa · Befogók: 5 cm és 12 cm
Mekkora a kerület és a terület?
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √52 + 122 = √25 + 144 = √169
- Vagyis:c = 13 cm
- A kerület:K = 5 + 12 + 13 = 30 cm
- A terület a két befogóból:T = 5 · 122 = 30 cm2
EredményK = 30 cm, T = 30 cm²
Kerület befogóból és átfogóból
Ha az átfogót és az egyik befogót ismered, a másik befogó kivonással jön ki a Pitagorasz-tételből. Ez a rész csúszik el a legtöbbször: sokan összeadják a négyzeteket kivonás helyett.
Kidolgozott példa · Átfogó: 25 cm, egyik befogó: 7 cm
Mekkora a kerület?
- A hiányzó befogó:b = √252 − 72 = √625 − 49 = √576
- Vagyis:b = 24 cm
- A kerület:K = 7 + 24 + 25 = 56 cm
EredményK = 56 cm
Kerület oldalból és szögből
Ha egy oldal és egy hegyesszög adott, a hiányzó oldalakat szögfüggvényekkel kapod meg. Az α szöggel szemközti befogó a = c · sin α, a mellette lévő pedig b = c · cos α.
Kidolgozott példa · Átfogó: 10 cm, α = 35°
Mekkora a kerület?
- A szemközti befogó:a = 10 · sin 35° = 10 · 0,5736 = 5,74 cm
- A másik befogó:b = 10 · cos 35° = 10 · 0,8192 = 8,19 cm
- A kerület:K = 5,74 + 8,19 + 10 = 23,93 cm
EredményK = 23,93 cm
Ellenőrzés: a két befogó összege (13,93 cm) nagyobb az átfogónál (10 cm) – ez a háromszög-egyenlőtlenség, és minden háromszögre igaz. Ha a te számolásodban a két befogó összege kisebb lenne az átfogónál, biztosan hibáztál.
Kerület és terület egymás mellett
| Befogók (cm) | Átfogó (cm) | Kerület (cm) | Terület (cm²) |
|---|---|---|---|
| 3 és 4 | 5 | 12 | 6 |
| 5 és 12 | 13 | 30 | 30 |
| 7 és 24 | 25 | 56 | 84 |
| 8 és 15 | 17 | 40 | 60 |
A terület derékszögű háromszögben különösen kényelmes: a két befogó egymás magassága, ezért T = a · b2, nem kell külön magasságot számolni. A kerülethez viszont az átfogó is kell – ez a legfontosabb különbség a két feladattípus között.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 3 cm és 4 cm. Mekkora a kerülete?
Egy derékszögű háromszög kerülete 40 cm, az átfogója 17 cm. Mennyi a két befogó összege?
Lehet-e a derékszögű háromszög kerülete kisebb, mint az átfogó kétszerese?
Gyakori kérdések
Mi a derékszögű háromszög kerületének képlete?
K = a + b + c, vagyis a két befogó és az átfogó összege. Ha az átfogó hiányzik, előbb számold ki: c = √a2 + b2.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög kerületét és területét egyszerre?
A kerület a három oldal összege, a terület pedig a két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. Az 5-12-13 cm-es háromszögnél K = 30 cm és T = 30 cm².
Mit tegyek, ha csak az átfogót és egy befogót ismerem?
A másik befogó b = √c2 − a2 – itt kivonás kell, nem összeadás. A 25 cm átfogójú, 7 cm befogójú háromszögben a másik befogó 24 cm, a kerület 56 cm.
Ki lehet számolni a kerületet egy oldalból és egy szögből?
Igen. Ha az átfogó c és az α szög adott, akkor a = c · sin α és b = c · cos α, ezeket add össze c-vel. 10 cm-es átfogónál és 35°-nál a kerület 23,93 cm.
Melyik oldal az átfogó?
A derékszöggel szemközti, egyben leghosszabb oldal. A jelölésben ez a c, mert a derékszög a C csúcsnál van.