Oldalak kiszámítása
Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm
Ez a tankönyvek egyik legtöbbet kérdezett feladata. Végigszámoljuk az összes adatát, mert a folytatás sokszor kerület, terület vagy szög.
Röviden a válasz
A másik befogó 12 cm, mert √132 − 52 = √169 − 25 = √144 = 12. Az 5 – 12 – 13 egy pitagoraszi számhármas, ezért jön ki kerek szám.
Ebből minden további adat következik: a terület 30 cm², a kerület szintén 30 cm, a hegyesszögek 22,62° és 67,38°, az átfogóhoz tartozó magasság pedig 4,62 cm.
Számold újra másik adatokkal
A mezőkben az 5 cm-es befogó és a 13 cm-es átfogó szerepel. Írd át bármelyiket, ha a te feladatodban más számok vannak.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A másik befogó kiszámítása
Az átfogó és az egyik befogó ismert, tehát a Pitagorasz-tételt a hiányzó befogóra rendezzük át. Mivel a befogó rövidebb az átfogónál, kivonás lesz a gyök alatt.
Kidolgozott példa · a = 5 cm befogó, c = 13 cm átfogó
Mekkora a másik befogó?
- A Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögre:a2 + b2 = c2
- Átrendezve a keresett befogóra:b = √c2 − a2 = √132 − 52
- A négyzetek különbsége:b = √169 − 25 = √144
- Gyökvonás:b = 12 cm
EredményA másik befogó b = 12 cm.
A háromszög összes többi adata
A feladatok általában itt nem állnak meg. A 12 cm-es befogó birtokában minden más egy-két lépés:
| Adat | Számolás | Eredmény |
|---|---|---|
| Terület | T = 5 · 122 | 30 cm² |
| Kerület | K = 5 + 12 + 13 | 30 cm |
| Átfogóhoz tartozó magasság | mc = 5 · 1213 | 4,62 cm |
| Az 5 cm-es befogóval szemközti szög | sin α = 513 | 22,62° |
| A 12 cm-es befogóval szemközti szög | 90° − 22,62° | 67,38° |
| Köré írt kör sugara | R = 132 | 6,5 cm |
| Beírt kör sugara | r = 5 + 12 − 132 | 2 cm |
Kidolgozott példa · Az átfogóhoz tartozó magasság
Mekkora a derékszög csúcsából az átfogóra bocsátott merőleges?
- A területet kétféleképpen írjuk fel:5 · 122 = 13 · mc2
- Innen a magasság:mc = 5 · 1213 = 6013
- Elvégezve az osztást:mc = 4,62 cm
Eredménymc = 4,62 cm.
A magasság talppontja két szeletre bontja az átfogót: p = 5213 = 1,92 cm és q = 12213 = 11,08 cm. A két szelet összege 13 cm – jó ellenőrzés arra, hogy nem tévesztettél.
Miért kerek szám az eredmény?
Mert az 5 – 12 – 13 pitagoraszi számhármas: három olyan egész szám, amelyre 52 + 122 = 132, azaz 25 + 144 = 169. A tankönyvek ezért használják ilyen sűrűn – a gyökvonás egész számot ad, és a figyelem a gondolatmeneten maradhat.
A hármas minden többszöröse is derékszögű háromszöget ad: 10 – 24 – 26, 15 – 36 – 39 és így tovább. Ha tehát a feladatban 10 cm-es befogó és 26 cm-es átfogó szerepel, a válasz azonnal 24 cm. További hármasokat a derékszögű háromszög egyik befogója oldalon sorolunk fel.
Gyors önellenőrzés
Mekkora a háromszög kerülete?
Mekkora az 5 cm-es befogóval szemközti szög?
Mekkora a másik befogó, ha az átfogó 26 cm és az egyik befogó 10 cm?
Mekkora sugarú kör írható a háromszög köré?
Gyakori kérdések
Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm. Mekkora a másik befogó?
12 cm. A Pitagorasz-tételt a befogóra rendezed át: b = √132 − 52 = √169 − 25 = √144 = 12 cm.
Mekkora ennek a háromszögnek a területe?
30 cm². Derékszögű háromszögben a két befogó egymás magassága, ezért T = 5 · 122 = 30 cm².
Mekkorák a háromszög szögei?
A derékszög 90°, az 5 cm-es befogóval szemközti szög 22,62°, a 12 cm-essel szemközti 67,38°. A két hegyesszög összege mindig 90°.
Miért nem 18 cm a másik befogó?
Mert nem a hosszakat, hanem a négyzeteiket adjuk össze. A 5 + 13 típusú számolás azért hibás, mert a Pitagorasz-tétel a területekre igaz: 25 + 144 = 169.
Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
mc = 5 · 1213 = 4,62 cm. A magasság talppontja 1,92 cm és 11,08 cm hosszú szeletekre osztja az átfogót.