A derékszögű háromszög átfogója – tulajdonságok

Átfogó és a köré írt kör

Írd be a két befogót – megkapod az átfogót, és mellette a köré írt kör sugarát is, ami épp az átfogó fele.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Melyik oldal az átfogó?

Az, amelyik nem érinti a derékszöget. A derékszög két szára a két befogó, a velük szemben lévő harmadik oldal az átfogó. A jelölésben a derékszöget szokás a C csúcsba tenni, ezért lesz a c oldal az átfogó – de ha a feladat máshova rakja a derékszöget, akkor a betű is más lesz.

A 7–24–25 háromszög: a derékszög a C csúcsnál, vele szemben a 25 cm-es átfogó.

Hogy az átfogó a leghosszabb, az abból következik, hogy nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. A derékszög 90°, a két hegyesszög ennél kisebb, tehát az átfogó legyőzi mindkét befogót. Ez a legegyszerűbb ellenőrzés is: ha a kiszámolt átfogód rövidebb valamelyik befogónál, hibás.

Az átfogó és a Thalész-tétel

Rajzolj kört az átfogó fölé úgy, hogy az átfogó legyen az átmérője. A Thalész-tétel szerint a kör bármely pontjából derékszögben látszik ez az átmérő – tehát a derékszögű háromszög harmadik csúcsa mindig ezen a körön van.

A köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó pedig a kör átmérője.

A köré írt kör sugaraR = c2

Az átfogóhoz tartozó súlyvonals_c = c2

Az átfogóhoz tartozó magasságm_c = a · bc

Kidolgozott példa · a = 7 cm és b = 24 cm befogó

Mekkora az átfogó, a köré írt kör sugara és az átfogóhoz tartozó magasság?

Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √7² + 24² = √49 + 576 = √625
Vagyis:c = 25 cm
A köré írt kör sugara az átfogó fele:R = 252 = 12,5 cm
A magasság a kétféle területszámítás összevetéséből:m_c = 7 · 2425 = 16825 = 6,72 cm

Eredményc = 25 cm, R = 12,5 cm, m_c = 6,72 cm

Az átfogó a nevezetes derékszögű háromszögekben

Két háromszögnél az átfogó és a befogók aránya fix, ezért ezeknél számológép nélkül is dolgozhatsz.

Az átfogó a két nevezetes derékszögű háromszögben
Háromszög	Az átfogó	Példa
45°–45°–90° (egyenlő szárú)	c = a · √2	befogó 10 cm → átfogó 14,14 cm
30°–60°–90° (fél szabályos)	c = 2 · a, ahol a a 30°-kal szemközti befogó	befogó 13 cm → átfogó 26 cm

A 30°–60°–90° háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért a rövidebb befogó pontosan az átfogó fele, a hosszabb pedig a · √3. Ha az átfogó 26 cm, a befogók 13 cm és 13 · √3 = 22,52 cm.

Kidolgozott példa · Egyenlő szárú derékszögű háromszög, befogó 10 cm

Mekkora az átfogó?

A két befogó egyenlő, ezért:c = √10² + 10² = √200
A gyök egyszerűsíthető:√200 = 10 · √2
Számértékben:c = 10 · 1,4142 = 14,14 cm

Eredményc = 14,14 cm

Az átfogó konkrét kiszámításának összes esetét (két befogóból, szögből, területből) a derékszögű háromszög átfogójának kiszámítása oldalon gyűjtöttük össze, a befogók oldaláról pedig a háromszög befogó oldal indul.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög köré írt körének sugara 6,5 cm. Mekkora az átfogó?

Az átfogó a kör átmérője, tehát c = 2 · 6,5 = 13 cm.

Miért nem lehet a derékszögű háromszögnek két derékszöge?

Mert a belső szögek összege 180°, két derékszög pedig már önmagában 180° – a harmadik szögnek 0°-nak kellene lennie, ami nem háromszög.

Egy 45°–45°–90° háromszög átfogója 8 cm. Mekkorák a befogók?

A befogó 8√2 = 5,66 cm, mindkettő ugyanakkora.

Gyakori kérdések

Mi a derékszögű háromszög átfogója?

A derékszöggel szemközti oldal, jelölése általában c. Ez a háromszög leghosszabb oldala, és a Pitagorasz-tételben ő szerepel az egyenlet másik oldalán: a² + b² = c².

Miért az átfogó a leghosszabb oldal?

Mert a legnagyobb szöggel, a 90°-os derékszöggel áll szemben. Háromszögben mindig a nagyobb szöggel szemközti oldal a hosszabb, márpedig a két hegyesszög 90°-nál kisebb.

Igaz-e, hogy az átfogó fele a köré írt kör sugara?

Igen. A Thalész-tétel miatt a derékszögű háromszög köré írt körének középpontja az átfogó felezőpontja, sugara pedig R = c2. Ugyanennyi az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza is.

Van-e minden háromszögnek átfogója?

Nincs. Az átfogó fogalma csak derékszögű háromszögben létezik. Hegyesszögű és tompaszögű háromszögben csak oldalakról beszélünk, még ha van is köztük leghosszabb.

Hogyan találom meg az átfogót a rajzon?

Keresd meg a derékszög jelét, és nézd meg, melyik oldal nem érintkezik vele – az az átfogó. A rajz elforgatása nem változtat ezen.