Oldalak kiszámítása
Derékszögű háromszög egyik befogója
A befogó kiszámítása nem ugyanaz, mint az átfogóé: itt kivonni kell a négyzeteket, nem összeadni. Ez a leggyakoribb hibaforrás, és itt pontosan végigmegyünk rajta.
Röviden a válasz
Ha az átfogót és a másik befogót ismered, a keresett befogó a = √c2 − b2. A Pitagorasz-tételt itt kivonásra rendezed át, mert a befogó mindig rövidebb az átfogónál.
Ha oldal helyett szöget tudsz, a szögfüggvények adják a választ: a = c · sin α (átfogóból) vagy a = b · tg α (a másik befogóból).
Befogókalkulátor
Írd be azt a két adatot, amit ismersz – például az átfogót és a másik befogót –, a hiányzó befogó azonnal megjelenik.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik oldal a befogó, és miért számít ez?
A befogók azok az oldalak, amelyek a derékszöget közrefogják, az átfogó pedig a derékszöggel szemközti oldal. Jelölésünkben a derékszög a C csúcsnál van, tehát a és b a két befogó, c az átfogó.
Ez a szerepkiosztás dönti el, hogy összeadni vagy kivonni kell-e. Az átfogó a leghosszabb oldal, ezért ha befogót keresel, az eredménynek kisebbnek kell lennie az átfogónál – és ezt csak kivonással kaphatod meg.
Az egyik befogó a másik befogóból és az átfogóból
Ez a leggyakoribb feladattípus. Indulj a Pitagorasz-tételből, és rendezd át arra az oldalra, amelyiket keresed:
Kidolgozott példa · Átfogó 17 cm, egyik befogó 15 cm
Mekkora a másik befogó?
- Az ismeretlen befogó a Pitagorasz-tételből:a = √c2 − b2
- Behelyettesítve:a = √172 − 152 = √289 − 225
- A gyök alatt:a = √64 = 8 cm
- Ellenőrzés visszafelé:82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172
EredményA másik befogó a = 8 cm.
Befogó egy szögből és az átfogóból
Ha a másik befogó helyett egy hegyesszöget ismersz, szögfüggvényt használsz. A szinusz a szöggel szemközti befogót adja, a koszinusz a szög melletti befogót – ez a két szó dönt el mindent.
Kidolgozott példa · Átfogó 20 cm, α = 35°
Mekkora a két befogó?
- Az α szöggel szemközti befogó:a = 20 · sin 35° = 20 · 0,5736 = 11,47 cm
- Az α szög melletti befogó:b = 20 · cos 35° = 20 · 0,8192 = 16,38 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:11,472 + 16,382 = 131,6 + 268,3 = 399,9 ≈ 202
Eredménya = 11,47 cm és b = 16,38 cm.
Befogó területből, kerületből, befogótételből
Nem mindig oldal vagy szög az adott. Ezek a ritkább, de dolgozatban szívesen kérdezett esetek:
| Ismert adatok | A befogó képlete | Megjegyzés |
|---|---|---|
| Átfogó és másik befogó | a = √c2 − b2 | Pitagorasz-tétel kivonásra rendezve. |
| Átfogó és hegyesszög | a = c · sin α | A szöggel szemközti befogó. |
| Másik befogó és hegyesszög | a = b · tg α | A tangens a két befogó aránya. |
| Terület és másik befogó | a = 2 · Tb | Mert T = a · b2. |
| Átfogó és az átfogóra eső szelet | a = √p · c | Befogótétel, ahol p az a-hoz tartozó szelet. |
Kidolgozott példa · Terület 84 cm², egyik befogó 24 cm
Mekkora a másik befogó?
- Derékszögű háromszögben a két befogó a terület „alapja és magassága”:T = a · b2
- Átrendezve a keresett befogóra:b = 2 · Ta = 2 · 8424
- Elvégezve az osztást:b = 16824 = 7 cm
EredményA másik befogó b = 7 cm.
A befogótétel akkor jön jól, ha a magasság talppontja két részre osztja az átfogót: ilyenkor a2 = p · c, vagyis a befogó a saját szelete és a teljes átfogó mértani közepe. A befogótétel oldalon részletesen is levezetjük.
Gyors út: ismerd fel a pitagoraszi számhármasokat
A feladatok többsége néhány visszatérő oldalhármasra épül. Ha ezeket felismered, a gyökvonás elmarad, és az ellenőrzés is azonnali:
- 3 – 4 – 5 (és minden többszöröse: 6 – 8 – 10, 9 – 12 – 15, 15 – 20 – 25),
- 5 – 12 – 13 (erről külön oldal szól: egyik befogó 5 cm, átfogó 13 cm),
- 8 – 15 – 17,
- 7 – 24 – 25,
- 20 – 21 – 29.
Fontos: a hármas legnagyobb tagja mindig az átfogó. Ha a feladatban 8 és 17 szerepel, akkor a 17 az átfogó, a hiányzó befogó pedig 15 – és nem fordítva. A teljes áttekintést a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 25 cm, egyik befogója 7 cm. Mekkora a másik befogó?
Lehet-e a befogó 12 cm, ha az átfogó 10 cm?
Az átfogó 20 cm, az egyik hegyesszög 30°. Mekkora a vele szemközti befogó?
A két befogó 8 és 15 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög egyik befogóját?
Ha az átfogót és a másik befogót ismered, vonj négyzetet, vonj ki, majd gyököt: a = √c2 − b2. Ha szög is szerepel a feladatban, a szemközti befogó a = c · sin α.
Mi a különbség a befogó és az átfogó között?
A befogók fogják közre a derékszöget, az átfogó pedig a derékszöggel szemközti oldal. Az átfogó mindig a leghosszabb oldal, ezért a befogó soha nem lehet nála hosszabb.
Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, az átfogója 13 cm – mekkora a másik befogó?
A másik befogó 12 cm, mert √132 − 52 = √169 − 25 = √144 = 12. Ennek a feladatnak a teljes megoldását – terület, kerület, szögek – külön oldalon dolgozzuk ki.
Elég-e egyetlen befogó ahhoz, hogy kiszámoljam a többi oldalt?
Nem, egy adat kevés. A derékszög mellé még két adat kell, például egy másik oldal vagy egy hegyesszög. Egyetlen befogóból végtelen sok különböző derékszögű háromszög rajzolható.
Mikor használjak szinuszt és mikor koszinuszt a befogóhoz?
Ha a szöggel szemközti befogót keresed, szinusz kell (a = c · sin α). Ha a szög melletti befogót, akkor koszinusz (b = c · cos α). A tangens akkor jön, ha az átfogó helyett a másik befogó ismert.