Tételek
Pitagorasz-tétel derékszögű háromszögben
Az a² + b² = c² a derékszögű háromszög alaptétele – és egyben az a pont, ahol a koszinusztétel és a szinusztétel is a legegyszerűbb alakját veszi fel.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a2 + b2 = c2. Az átfogó a derékszöggel szemközti, egyben leghosszabb oldal.
Innen az átfogó c = √a2 + b2, a hiányzó befogó pedig kivonással: a = √c2 − b2. A tétel megfordítása is igaz: ha három oldalra teljesül az egyenlőség, a háromszög derékszögű.
Pitagorasz-kalkulátor
Írd be a két befogót, és megkapod az átfogót – vagy adj meg átfogót és befogót a hiányzó oldalhoz.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A tétel és a jelölések
A jelölés mindig a derékszöghöz igazodik: a derékszög a C csúcsnál van, ezért a vele szemközti c oldal az átfogó, a derékszöget közrefogó a és b pedig a befogók. A tétel csak ebben az elrendezésben érvényes.
Átfogó és befogó számítása – két példa
Kidolgozott példa · Befogók: 7 cm és 24 cm
Mekkora az átfogó?
- Írd fel a tételt:c2 = a2 + b2
- Helyettesíts be:c2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
- Vonj gyököt:c = √625 = 25 cm
Eredményc = 25 cm.
Kidolgozott példa · Átfogó: 41 cm, egyik befogó: 9 cm
Mekkora a másik befogó?
- Az átfogó ismert, ezért kivonunk:b2 = c2 − a2
- Behelyettesítve:b2 = 412 − 92 = 1681 − 81 = 1600
- Gyököt vonva:b = √1600 = 40 cm
Eredményb = 40 cm, tehát a háromszög oldalai 9, 40 és 41 cm.
| Befogók | Átfogó | Ellenőrzés |
|---|---|---|
| 3 és 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 és 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 7 és 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 8 és 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 9 és 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 |
| 20 és 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Minden hármas többszöröse is működik: a 3–4–5 kétszerese a 6–8–10, háromszorosa a 9–12–15. Ez a hasonlóság következménye, hiszen az arányok nem változnak.
A tétel megfordítása: derékszögű-e a háromszög?
Ha három oldal ismert, egyetlen számolással eldöntheted, van-e köztük derékszög. Emeld négyzetre a leghosszabb oldalt, és hasonlítsd a másik kettő négyzetösszegéhez.
- a2 + b2 = c2 – a háromszög derékszögű,
- a2 + b2 > c2 – hegyesszögű,
- a2 + b2 < c2 – tompaszögű.
Kidolgozott példa · 20 cm, 21 cm és 29 cm
Derékszögű-e ez a háromszög?
- A leghosszabb oldal a 29 cm, ennek a négyzete:292 = 841
- A másik kettő négyzetösszege:202 + 212 = 400 + 441 = 841
- A két érték egyenlő, tehát teljesül a tétel megfordítása.841 = 841
EredményIgen, derékszögű – a derékszög a 29 cm-es oldallal szemben van.
Szinusztétel és koszinusztétel derékszögű háromszögben
Az általános háromszögekre kimondott két nagy tétel derékszögű esetben leegyszerűsödik – érdemes látni, hogyan függenek össze a Pitagorasz-tétellel.
A koszinusztétel alakja c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ. Ha γ = 90°, akkor cos 90° = 0, így az utolsó tag eltűnik, és pontosan a Pitagorasz-tételt kapod vissza. A Pitagorasz-tétel tehát a koszinusztétel derékszögű speciális esete.
A szinusztétel (asin α = csin γ) derékszögű háromszögben szintén egyszerűsödik, mert sin 90° = 1. Ekkor asin α = c, vagyis sin α = ac – ez pedig épp a szögfüggvények definíciója: a szöggel szemközti befogó osztva az átfogóval. A 7–24–25 háromszögben így sin α = 725 = 0,28, ahonnan α = 16,26° és β = 73,74°.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. Mekkora az átfogó?
Derékszögű-e a 6, 7 és 9 cm oldalú háromszög?
Miért nem használhatod a Pitagorasz-tételt tompaszögű háromszögben?
Gyakori kérdések
Mit mond ki a Pitagorasz-tétel?
Azt, hogy derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a2 + b2 = c2. Az átfogó a derékszöggel szemközti oldal.
Hogyan számolom ki a befogót a Pitagorasz-tétellel?
Vond ki az átfogó négyzetéből a másik befogó négyzetét, majd vonj gyököt: a = √c2 − b2. Ha 41 cm az átfogó és 9 cm az egyik befogó, a másik √1681 − 81 = 40 cm.
Mi a koszinusztétel derékszögű háromszögben?
Ugyanaz, mint a Pitagorasz-tétel. A c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ képletben γ = 90° esetén cos γ = 0, így az utolsó tag kiesik.
Mi a szinusztétel derékszögű háromszögben?
Mivel sin 90° = 1, a szinusztételből asin α = c lesz, azaz sin α = ac. Ez pontosan a szögfüggvények derékszögű háromszögre vonatkozó definíciója, és egyben azt is jelenti, hogy az átfogó a köré írt kör átmérője.
Hogyan döntöm el, hogy egy háromszög derékszögű-e?
Hasonlítsd a leghosszabb oldal négyzetét a másik kettő négyzetösszegéhez. Egyenlőség esetén derékszögű, ha a négyzetösszeg nagyobb, hegyesszögű, ha kisebb, tompaszögű.
Melyek a leggyakoribb pitagoraszi számhármasok?
A 3–4–5, az 5–12–13, a 7–24–25, a 8–15–17, a 9–40–41 és a 20–21–29. Ezek bármelyik többszöröse is derékszögű háromszöget ad.