Magasság
Egyenlő szárú háromszög magasságának kiszámítása
Ha nem két oldal, hanem egy oldal és egy szög adott, a Pitagorasz-tétel nem elég – szögfüggvény kell. Itt ez a három eset van végigszámolva.
Röviden a válasz
Ha az egyenlő szárú háromszögből egy oldalt és egy szöget ismersz, a magasság szögfüggvénnyel jön ki. Szárból és szárszögből m = b · cos(α2), alapból és alapon fekvő szögből m = a2 · tg β.
Az egyenlő szárú derékszögű háromszögben mindez leegyszerűsödik: az alaphoz tartozó magasság épp az átfogó fele, tehát m = c2.
Számold ki szögből is
Adj meg egy oldalt és egy szöget – például szárat és szárszöget –, a magasság azonnal megjelenik.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A szimmetriatengely felezi a szárszöget
Az alaphoz tartozó magasság a szimmetriatengelyen fekszik, ezért egyszerre felezi az alapot és a szárszöget is. A keletkező derékszögű félháromszögben tehát ismert az átfogó (a szár) és az egyik hegyesszög (a fél szárszög) – ennyi bőven elég a szögfüggvényekhez.
Példa: szár és szárszög adott
Kidolgozott példa · Szár 12 cm, szárszög 40°
Mekkora az alaphoz tartozó magasság és maga az alap?
- A fél szárszög:α2 = 40°2 = 20°
- A magasság a szár és a fél szárszög koszinuszából:m = 12 · cos 20° = 12 · 0,9397 = 11,28 cm
- A fél alap ugyanennek a szögnek a szinuszából:a2 = 12 · sin 20° = 12 · 0,342 = 4,10 cm
- Az alap tehát:a = 2 · 4,10 = 8,21 cm
Eredménym = 11,28 cm, a = 8,21 cm
Az egyenlő szárú derékszögű háromszög
Ha a szárszög épp 90°, a két szár a két befogó, az alap pedig az átfogó. Ilyenkor semmilyen szögfüggvényt nem kell előszedni, mert az átfogó és a magasság is egyszerű alakot vesz fel.
A magasság azért pontosan az átfogó fele, mert a szimmetria miatt a talppont épp az átfogó felezőpontja – vagyis ez a magasság egyben súlyvonal is. Az átfogóhoz tartozó súlyvonal pedig a Thalész-kör sugara, tehát c2. Erről bővebben az egyenlő szárú derékszögű háromszög oldalon.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú derékszögű, a szárak 7 cm-esek
Mekkora az átfogó és a hozzá tartozó magasság?
- Az átfogó a Pitagorasz-tételből:c = √72 + 72 = 7 · √2 = 9,90 cm
- A magasság az átfogó fele:m = 9,902 = 4,95 cm
- Ellenőrzés a befogók szorzatával:m = 7 · 79,90 = 4,95 cm
Eredményc = 9,90 cm, m = 4,95 cm
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú háromszög szára 10 cm, a szárszöge 60°. Mekkora a magassága?
Miért nem elég a szárszög önmagában a magassághoz?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a magasságot a szárszögből?
Felezd a szárszöget, majd m = b · cos(α2), ahol b a szár. A fél szárszög azért kell, mert a magasság kettévágja a szárszöget.
Hogyan számolom ki az alapot, ha csak a szár és a szárszög ismert?
A fél alap b · sin(α2), ezért a = 2 · b · sin(α2). Például 12 cm szár és 40° szárszög esetén a = 8,21 cm.
Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója?
A befogó √2-szerese, vagyis c = b · √2 ≈ 1,414 · b. Hét centiméteres szárak esetén az átfogó 9,90 cm.
Mekkora az egyenlő szárú derékszögű háromszög magassága?
Az átfogóhoz tartozó magasság pontosan az átfogó fele: m = c2. A szárakhoz tartozó magasságok pedig maguk a szárak, hiszen azok merőlegesek egymásra.
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög szögeit, ha az oldalak ismertek?
Az alapon fekvő szögre cos β = a / 2b, a szárszög pedig α = 180° − 2β. A magasság ismeretében tg β = ma / 2 is használható.