Egyenlő szárú derékszögű háromszög – szögek, oldalak

Q: Hogyan számolom ki az egyenlő szárú derékszögű háromszög területét?

A befogóból T = (a²)/(2), mert a két befogó merőleges egymásra, tehát az egyik a másik magassága. Az átfogóból pedig T = (c²)/(4). Például 9 cm-es befogóval T = 40,5 cm².

Q: Mekkora az átfogó, ha a befogó ismert?

Az átfogó a befogó √(2)-szerese, vagyis körülbelül 1,414-szerese. 9 cm-es befogónál c = 12,73 cm. Visszafelé osztani kell: a = (c)/(√(2)) ≈ 0,707 · c.

Egyenlő szárú derékszögű háromszög kalkulátor

Írd be ugyanazt a számot mindkét befogóhoz – vagy adj meg egy átfogót és 45°-ot.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mi az egyenlő szárú derékszögű háromszög?

Olyan háromszög, amelyben egyszerre teljesül két feltétel: van benne derékszög, és két oldala egyenlő hosszú. A kettő együtt nagyon erős megkötés – emiatt ebből a háromszögből lényegében csak egyetlen alak létezik, minden ilyen háromszög hasonló a többihez. Csak a mérete lehet más.

A két egyenlő oldal itt szükségszerűen a két befogó. A szárak nem lehetnek az átfogó és egy befogó, mert az átfogó mindig hosszabb bármelyik befogónál. A derékszög tehát pontosan a két szár által bezárt szög, vagyis a szárszög.

A derékszög a C csúcsnál van, ezért c az átfogó. A két befogó egyenlő, az alapon fekvő szögek 45°-osak.

Miért pont 45 fokosak a szögei?

A háromszög belső szögeinek összege 180°. Ebből 90° elmegy a derékszögre, marad 90° a másik két szögre. Mivel a két befogó egyenlő, a velük szemközti szögek is egyenlők, tehát a maradék 90°-ot fele-fele arányban osztják el:

Az alapon fekvő szögekα = β = 180° − 90°2 = 45°Ez fordítva is igaz: ha egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 45°, akkor a másik is az, tehát a háromszög egyenlő szárú.

Ez a legegyszerűbb felismerési szabály. Ha egy feladatban egy derékszögű háromszögnél 45°-ot látsz, azonnal tudod, hogy a két befogó egyenlő – és ezzel egy csapásra megspóroltál egy Pitagorasz-tételt. A háromszög belső szögeinek összege minden esetben 180°, ez a levezetés alapja.

Az oldalak aránya: 1 : 1 : gyök 2

A két befogó egyenlő, jelöljük mindkettőt a-val. A Pitagorasz-tétel szerint c² = a² + a² = 2a², ebből gyököt vonva:

Az átfogó a befogóbólc = a · √2 ≈ 1,414 · a

A befogó az átfogóbóla = c√2 = c · √22 ≈ 0,707 · c

Az átfogóhoz tartozó magasságm_c = c2

A harmadik sor külön figyelmet érdemel: az átfogóhoz tartozó magasság pontosan fele az átfogónak. Ez azért van, mert ez a magasság egyben súlyvonal és szimmetriatengely is, a végpontja pedig az átfogó felezőpontja, ami a köré írt kör középpontja. A magasság így a köré írt kör sugarával egyenlő.

Számolás befogóból

Kidolgozott példa · A befogó 9 cm

Mekkora az átfogó, a terület és a kerület?

Az átfogó a befogó √2-szerese:c = 9 · √2 = 9 · 1,4142 = 12,73 cm
A terület: a két befogó egymás magassága, ezért a szorzatuk fele kell:T = 9 · 92 = 40,5 cm²
A kerület a három oldal összege:K = 9 + 9 + 12,73 = 30,73 cm

Eredményc = 12,73 cm, T = 40,5 cm², K = 30,73 cm

Számolás átfogóból

Ez a nehezebb irány, mert osztani kell. A gyorsítás: a területhez nem is kell befogót számolni. Mivel az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó fele, a T = c · m_c2 képletbe m_c helyére c2 kerül, és így a terület egy lépésben adódik: T = c²4.

Kidolgozott példa · Az átfogó 14 cm

Mekkorák a befogók, és mekkora a terület?

A befogó az átfogó √2-ed része:a = 14√2 = 141,4142 = 9,90 cm
Az átfogóhoz tartozó magasság az átfogó fele:m_c = 142 = 7 cm
A terület az átfogóból egy lépésben:T = c²4 = 1964 = 49 cm²
Ellenőrzés a befogókkal:T = 9,90 · 9,902 = 49,0 cm²

Eredménya = b = 9,90 cm, T = 49 cm²

A terület és az oldalak közötti összes átjárást részletesen az egyenlő szárú derékszögű háromszög területe oldalon írtuk meg, a szögek levezetése pedig itt olvasható.

A négyzet fele – innen jön az egész

Vágj ketté egy négyzetet az átlója mentén. A két darab egybevágó, mindkettő egyenlő szárú derékszögű háromszög: a négyzet két oldala lesz a két befogó, az átló pedig az átfogó. Minden 45–45–90-es háromszög félbevágott négyzet.

Ebből azonnal következik a négyzet átlójának képlete is: ha a négyzet oldala 20 cm, akkor az átlója 20 · √2 = 28,28 cm. Ugyanaz a √2-es arány, csak más néven.

A négyzet egyik fele: 45°, 45°, 90°.

A köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja – Thalész tétele.

Szerkesztése körzővel és vonalzóval

Ha a befogó adott

Rajzolj egy egyenest, jelölj ki rajta egy C pontot – itt lesz a derékszög.
Merőleges állításaÁllíts merőlegest a C pontban: körzővel mérj fel egyenlő távolságot az egyenesre mindkét irányban, majd a két pontból egyenlő, nagyobb sugárral körívezz. A metszéspontot C-vel összekötve kapod a merőlegest.
Mérd fel a befogó hosszát C-ből az egyik szárra: ez az A pont.
Mérd fel ugyanazt a hosszt C-ből a másik szárra: ez a B pont.
Kösd össze A-t és B-t. Az AB szakasz az átfogó, a háromszög készen van.

Ha az átfogó adott, egyszerűbb a Thalész-kör: rajzolj kört az átfogó fölé (átmérőnek véve), majd szerkeszd meg az átfogó felezőmerőlegesét. Ahol ez metszi a kört, ott van a derékszög csúcsa. További szerkesztési alapesetek a derékszögű háromszög szerkesztése oldalon.

Összefoglaló táblázat

Minden képlet a befogóval ($a$) és az átfogóval ($c$) kifejezve
Amit keresel	Befogóból	Átfogóból
Átfogó	c = a · √2	–
Befogó	–	a = c · √22
Terület	T = a²2	T = c²4
Kerület	K = a(2 + √2)	K = c(1 + √2)
Magasság az átfogóhoz	m_c = a · √22	m_c = c2
Köré írt kör sugara	R = a · √22	R = c2

A táblázat utolsó két sora ugyanaz a szám: a magasság, a súlyvonal és a köré írt kör sugara ebben a háromszögben egybeesik, mert mindhárom az átfogó felezőpontjába mutat.

Gyors önellenőrzés

Egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogója 5 cm. Mekkora az átfogója?

c = 5 · √2 = 7,07 cm.

Lehet-e egy háromszög egyszerre egyenlő oldalú és derékszögű?

Nem. Az egyenlő oldalú háromszög mindhárom szöge 60°, így nincs benne 90°-os szög. Egyenlő szárú és derékszögű viszont lehet – épp erről szól ez az oldal.

Egy ilyen háromszög területe 32 cm². Mekkorák a befogói?

T = a²2, tehát a² = 64, vagyis a = 8 cm mindkét befogó.

Hol van a háromszög magasságpontja?

Pontosan a derékszög csúcsában, vagyis a C pontban. Minden derékszögű háromszögben ott van, hiszen két magasság maga a két befogó.

Gyakori kérdések

Mekkorák az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei?

45°, 45° és 90°. A derékszög a két egyenlő szár között van, a másik két szög pedig a maradék 90°-on osztozik egyenlően, ezért lesz mindkettő 45°.

Hogyan számolom ki az egyenlő szárú derékszögű háromszög területét?

A befogóból T = a²2, mert a két befogó merőleges egymásra, tehát az egyik a másik magassága. Az átfogóból pedig T = c²4. Például 9 cm-es befogóval T = 40,5 cm².

Mekkora az átfogó, ha a befogó ismert?

Az átfogó a befogó √2-szerese, vagyis körülbelül 1,414-szerese. 9 cm-es befogónál c = 12,73 cm. Visszafelé osztani kell: a = c√2 ≈ 0,707 · c.

Hogyan szerkeszd meg az egyenlő szárú derékszögű háromszöget?

Állíts merőlegest egy pontban, mérd fel a befogó hosszát mindkét szárra a derékszög csúcsából, majd kösd össze a két végpontot. Ha az átfogó adott, a Thalész-kör és az átfogó felezőmerőlegesének metszéspontja adja a derékszög csúcsát.

Miért nem lehet a szár az átfogó?

Mert az átfogó mindig hosszabb bármelyik befogónál – a Pitagorasz-tétel miatt c² = a² + b² > a². Ha tehát két oldal egyenlő egy derékszögű háromszögben, azok csak a befogók lehetnek.

Hány szimmetriatengelye van?

Pontosan egy: az átfogó felezőmerőlegese, ami egyben a derékszög csúcsából induló magasság, súlyvonal és szögfelező is. Ez a tengely a háromszöget két kisebb, ugyanolyan alakú 45–45–90-es háromszögre bontja.