Egyenlő szárú háromszög szögei – képletek, példák

Egyenlő szárú háromszög szögkalkulátor

Két adat kell: például az alap és a szár, vagy egyetlen szög és egy oldal. Az összes szöget megkapod.

azonnal számol

Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
Felszín: –
β szög: –
m_a magasság: –
Terület: –
Kerület: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Melyik szög hogy hívják?

Az egyenlő szárú háromszögben két oldal egyforma hosszú, ezek a szárak. A harmadik oldal az alap. Ebből következik a szögek elnevezése is: a két szár által bezárt szög a szárszög, az alap két végénél lévő két szög pedig az alapon fekvő szögek.

Az a oldal az alap, b és c a szárak. A B és C csúcsnál lévő szögek egyenlők.

Egy szögből mind a három

Mivel két szög egyenlő, a 180°-os szögösszeg egyetlen ismeretlent hagy. Ezért bármelyik szögből ki tudod számolni a másik kettőt.

Ha a szárszöget ismeredβ = γ = 180° − α2

Ha az alapon fekvő szöget ismeredα = 180° − 2 · β

Kidolgozott példa · A szárszög 50°

Mekkorák az alapon fekvő szögek?

A két alapon fekvő szögre ennyi marad:180° − 50° = 130°
Ez a maradék két egyenlő szög között oszlik el:β = γ = 130°2 = 65°

EredményA három szög: 50°, 65° és 65°.

Szögek kiszámítása az oldalakból

Ha csak az alapot és a szárat ismered, az alap felezőpontjához húzott magasság segít: az egyenlő szárú háromszöget két derékszögű háromszögre bontja, amelyekben az egyik befogó a fél alap, az átfogó pedig a szár.

Az alapon fekvő szög az oldalakbólcos β = a / 2bItt a az alap, b a szár. A fél alap a β szög melletti befogó, a szár az átfogó.

Kidolgozott példa · Alap a = 10 cm, szár b = 13 cm

Mekkorák a háromszög szögei?

A fél alap:a2 = 102 = 5 cm
A derékszögű részháromszögben cosinusszal:cos β = 513 = 0,3846
Inverz cosinusszal:β = cos^-1 0,3846 = 67,38°
A szárszög a szögösszegből:α = 180° − 2 · 67,38° = 45,24°

EredményA szögek: α = 45,24° (szárszög), β = γ = 67,38°.

Nevezetes esetek

Egyenlő szárú háromszögek szögei
Szárszög	Alapon fekvő szögek	Milyen a háromszög
60°	60° és 60°	Szabályos: minden oldala és szöge egyenlő.
90°	45° és 45°	Egyenlő szárú derékszögű, a négyzet fele.
100°	40° és 40°	Tompaszögű, lapos alakú.
120°	30° és 30°	A szabályos hatszög sarkából levágott háromszög.

A táblázat első sora fontos következtetést enged meg: minden szabályos háromszög egyenlő szárú is, hiszen három egyenlő oldala között van két egyenlő. Fordítva viszont nem igaz.

Ha kifejezetten a szárszög érdekel – például oldalakból kell kiszámolni –, nézd meg az egyenlő szárú háromszög szárszöge oldalt. A derékszögű eset külön oldalon szerepel: mekkorák az egyenlő szárú derékszögű háromszög szögei.

Gyors önellenőrzés

Egy egyenlő szárú háromszög egyik alapon fekvő szöge 72°. Mekkora a szárszög?

α = 180° − 2 · 72° = 36°. A három szög: 36°, 72°, 72°.

Lehet-e egy egyenlő szárú háromszögnek két 80°-os szöge?

Igen, ezek az alapon fekvő szögek, a szárszög pedig 180° − 160° = 20°.

Egy egyenlő szárú háromszög egyik szöge 110°. Melyik szög ez, és mekkorák a többiek?

Csak a szárszög lehet, mert két 110°-os szög nem férne el. Az alapon fekvő szögek: 180° − 110°2 = 35° mindkettő.

Gyakori kérdések

Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei?

A két alapon fekvő szög mindig egyenlő, a harmadik a szárszög. Konkrét értékük egyetlen adatból következik: β = 180° − α2, illetve α = 180° − 2β.

Miért egyenlő a két alapon fekvő szög?

Mert az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus az alap felezőmerőlegesére. A tükrözés a két alapon fekvő szöget egymásba viszi, tehát egyenlők.

Hogyan számolom ki a szögeket, ha az alapot és a szárat ismerem?

Húzz magasságot az alaphoz. Az így kapott derékszögű háromszögben cos β = a / 2b, ahol a az alap és b a szár. Az inverz cosinus adja az alapon fekvő szöget, a szárszög pedig 180° − 2β.

Lehet-e az egyenlő szárú háromszög tompaszögű?

Igen, ha a szárszög nagyobb 90°-nál. Ilyenkor az alapon fekvő szögek 45°-nál kisebbek. Két tompaszög viszont soha nem fér el egy háromszögben.

Az egyenlő szárú és a szabályos háromszög ugyanaz?

Nem. A szabályos háromszögnek mindhárom oldala és szöge egyenlő (60°), az egyenlő szárúnak csak két oldala. Minden szabályos háromszög egyenlő szárú, de fordítva nem igaz.