Magasság
Egyenlő szárú háromszög magasság kiszámítása
Az alaphoz tartozó magasság, az alap fele és a szár egyetlen derékszögű háromszöget alkot. Ebből a háromból bármelyik kettő ismeretében a harmadik kijön – bármelyik irányban.
Röviden a válasz
Egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasság m = √b2 − (a2)2, ahol a az alap, b a szár. Az alap 16 cm-es, a szár 10 cm-es háromszögben például m = √100 − 64 = 6 cm.
Ugyanez visszafelé is működik: ha a magasság ismert, az alap a = 2 · √b2 − m2, a szár pedig b = √m2 + (a2)2.
Egyenlő szárú háromszög kalkulátor
Bármelyik két adat elég: alap, szár, magasság, alapon fekvő szög vagy szárszög.
Két adat elég. Az alap az a oldal, a két egyenlő szár a b és c.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért elég a Pitagorasz-tétel?
Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus: a szimmetriatengely az alap felezőmerőlegese. Az alaphoz tartozó magasság pontosan ezen a tengelyen fekszik, ezért felezi az alapot – és két egybevágó derékszögű háromszögre vágja az egészet.
Ebben a derékszögű félháromszögben a szár az átfogó, az alap fele és a magasság pedig a két befogó. Innen minden más már csak behelyettesítés.
Példa: magasság az alapból és a szárból
Kidolgozott példa · Alap 16 cm, szár 10 cm
Mekkora az alaphoz tartozó magasság, és mekkora a terület?
- A magasság felezi az alapot, tehát a fél alap:a2 = 162 = 8 cm
- Pitagorasz-tétel a félháromszögben:m2 = 102 − 82 = 100 − 64 = 36
- Gyököt vonva:m = 6 cm
- A terület ebből azonnal adódik:T = 16 · 62 = 48 cm2
Eredménym = 6 cm, T = 48 cm²
Visszafelé: a magasságból az oldalak
A feladatok fele fordítva kérdez: adott a magasság, keresed az alapot vagy a szárat. Ugyanaz a derékszögű félháromszög, csak más ismeretlent hagysz benne.
Kidolgozott példa · Magasság 8 cm, alap 12 cm
Mekkorák a szárak és a kerület?
- A fél alap:a2 = 122 = 6 cm
- A szár a félháromszög átfogója:b2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100
- Vagyis:b = 10 cm
- A kerület a két szár és az alap összege:K = 12 + 10 + 10 = 32 cm
Eredményb = 10 cm, K = 32 cm
A szögek ugyanebből a háromszögből
A félháromszögben szögfüggvényt is használhatsz. Az alapon fekvő szögre a fél alap a szomszédos befogó, a szár az átfogó – tehát koszinusz kell.
A 16 cm alapú, 10 cm szárú háromszögnél cos β = 810 = 0,8, ebből β = 36,87°, a szárszög pedig 180° − 2 · 36,87° = 106,26° – vagyis ez a háromszög tompaszögű. A szögek részletes tárgyalása az egyenlő szárú háromszög szögei oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 24 cm, szára 13 cm. Mekkora a magassága?
Lehet-e a magasság nagyobb a szárnál?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög magasságát?
Felezd az alapot, majd használd a Pitagorasz-tételt: m = √b2 − (a2)2, ahol b a szár. Ez az alaphoz tartozó magasság, egyben a szimmetriatengely.
Hogyan számolom ki az alapot, ha a magasság és a szár ismert?
A fél alap √b2 − m2, az egész alap ennek a kétszerese: a = 2 · √b2 − m2. A kettes szorzót könnyű elfelejteni.
Hogyan kapom meg a szárat alapból és magasságból?
A szár a félháromszög átfogója, tehát b = √m2 + (a2)2. Például 12 cm alap és 8 cm magasság esetén b = √64 + 36 = 10 cm.
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög szögeit?
Az alapon fekvő szögre cos β = a / 2b, a szárszög pedig α = 180° − 2β. A két alapon fekvő szög mindig egyenlő.
Egyenlő szárú háromszögben mindhárom magasság egyenlő?
Nem, csak a két szárhoz tartozó magasság egyenlő egymással. Az alaphoz tartozó magasság ettől eltér, kivéve a szabályos háromszöget, ahol mindhárom megegyezik.