Testek: felszín és térfogat
A gömb térfogata
A gömbhöz egyetlen adat kell: a sugár. Innen a térfogat és a felszín is két behelyettesítés – a nehézség mindig a köbre emelés és a 4/3-os szorzó körül van.
Röviden a válasz
A gömb térfogata V = 43 · r3 · π. Ha r = 6 cm, akkor V = 43 · 216 · 3,14 = 904,32 cm³ (π ≈ 3,14).
Ha átmérőt kaptál, először feleződ: r = d2. A sugár a harmadik hatványon szerepel, ezért a gömb térfogata rendkívül érzékeny a sugárra: kétszeres sugár nyolcszoros térfogatot jelent.
Gömbkalkulátor
Elég egyetlen adat: sugár, átmérő, térfogat vagy felszín – a többi hármat kiszámoljuk hozzá.
Egyetlen adat elég: sugár, átmérő, térfogat vagy felszín.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- Térfogat
- –
- Felszín
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A gömb térfogatának képlete
A képletben r a gömb sugara: a középpont távolsága a gömbfelület bármely pontjától. Más adat nem is kell hozzá – a gömb az egyetlen test, amelyet egyetlen szám teljesen meghatároz.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Sugárból: r = 6 cm
Mekkora a gömb térfogata? Számolj π ≈ 3,14 értékkel.
- Emeld köbre a sugarat:r3 = 63 = 216 cm3
- Szorozd meg π-vel:216 · 3,14 = 678,24
- Szorozd 4-gyel, oszd 3-mal:V = 4 · 678,243 = 2712,963
- Az eredmény:V = 904,32 cm3
EredményV = 904,32 cm³
Kidolgozott példa · Átmérőből: d = 20 cm
Egy kosárlabda átmérője kerekítve 20 cm. Mekkora a térfogata literben?
- Sugár az átmérőből:r = d2 = 202 = 10 cm
- Köbre emelés:r3 = 103 = 1000 cm3
- Behelyettesítés:V = 43 · 1000 · 3,14 = 125603
- Az eredmény, és literre váltva:V = 4186,67 cm3 = 4,19 dm3 = 4,19 liter
EredményV ≈ 4186,7 cm³ ≈ 4,19 liter
Kidolgozott példa · Visszafelé: V = 113,04 cm³
Egy gömb térfogata 113,04 cm³. Mekkora a sugara?
- Rendezd át a képletet r3-re:r3 = 3 · V4 · π = 3 · 113,044 · 3,14
- Számold ki a törtet:r3 = 339,1212,56 = 27
- Vonj köbgyököt:r = 3 cm
Eredményr = 3 cm, tehát az átmérő 6 cm
Térfogat és felszín – ne keverd össze őket
A gömbhöz két képlet tartozik, és a keresésekben szinte mindig együtt szerepelnek. Az egyik köbös, a másik négyzetes egységet ad.
A felszínképlet így is olvasható: a gömb felszíne pontosan négy főkör területe. Egy r sugarú kör területe r2 · π, ebből négy darab adja ki a gömb burkolatát. A levezetést és további példákat a gömb felszíne oldalon találsz.
| Sugár | Térfogat | Felszín |
|---|---|---|
| 1 cm | 4,19 cm³ | 12,56 cm² |
| 2 cm | 33,49 cm³ | 50,24 cm² |
| 3 cm | 113,04 cm³ | 113,04 cm² |
| 6 cm | 904,32 cm³ | 452,16 cm² |
| 10 cm | 4186,67 cm³ | 1256 cm² |
Félgömb térfogata
A félgömb a gömb fele, tehát a képletben csak egy 2-es osztás jelenik meg. Ez a leggyakoribb „összetett” feladattípus: kupolák, tartályok teteje, fagylaltgombóc.
Kidolgozott példa · Félgömb: r = 9 cm
Mekkora egy 9 cm sugarú félgömb alakú tál űrtartalma?
- Köbre emelés:r3 = 93 = 729 cm3
- Behelyettesítés a félgömbképletbe:V = 23 · 729 · 3,14 = 486 · 3,14
- Az eredmény:V = 1526,04 cm3 ≈ 1,53 liter
EredményV = 1526,04 cm³ ≈ 1,53 liter
Miért nő ilyen gyorsan a térfogat?
Mert a sugár a harmadik hatványon szerepel. Ha a sugarat megduplázod, a térfogat 23 = 8-szorosára nő, a felszín viszont csak 22 = 4-szeresére. Ezért olvad el lassabban egy nagy jégtömb, mint ugyanannyi tömegű apró jégkocka: a nagy testnek a térfogatához képest kicsi a felülete.
Ugyanez az arány magyarázza, miért gömb alakú a szappanbuborék: adott térfogathoz a gömbnek a legkisebb a felszíne, tehát ez a legtakarékosabb forma. A henger ugyanennyi anyagot csak nagyobb burkolattal tud körbezárni – az összehasonlítást a henger térfogata oldalon számolhatod végig.
Gyors önellenőrzés
Egy gömb sugara 5 cm. Mekkora a térfogata (π = 3,14)?
Hányszorosára nő a gömb térfogata, ha a sugarat megháromszorozod?
Egy gömb átmérője 4 cm. Melyik a helyes első lépés?
Melyikbe fér több: egy 6 cm sugarú gömbbe vagy egy 6 cm sugarú, 8 cm magas hengerbe?
Gyakori kérdések
Mi a gömb térfogatának képlete?
A gömb térfogata V = 43 · r3 · π, ahol r a sugár. Először köbre emeled a sugarat, megszorzod π-vel, majd az egészet 4-gyel szorzod és 3-mal osztod. Az eredmény köbegységben (cm³, dm³, m³) jön ki.
Hogyan számolom a gömb térfogatát átmérőből?
Feleződ az átmérőt, és a kapott sugárral számolsz: r = d2. Egy lépésben is felírható: V = d3 · π6. Ha d = 20 cm, akkor V = 8000 · 3,146 ≈ 4186,7 cm³.
Mennyi a gömb térfogata és felszíne ugyanabból a sugárból?
A térfogat V = 43 · r3 · π, a felszín A = 4 · r2 · π. Az r = 6 cm sugarú gömbnél V = 904,32 cm³ és A = 452,16 cm². A térfogat köbegységben, a felszín négyzetes egységben mérendő.
Hogyan kapom meg a sugarat a térfogatból?
Rendezd át a képletet: r = gyök3(3 · V4 · π), tehát szorozz 3-mal, oszd 4π-vel, és vonj köbgyököt. Például V = 113,04 cm³ esetén r3 = 27, vagyis r = 3 cm.
Miért 4/3 szerepel a gömb térfogatképletében?
Mert a gömb a köré írható henger kétharmada. A henger térfogata 2 · r3 · π, ennek kétharmada 43 · r3 · π. Arkhimédész ezt az arányt bizonyította be elsőként, jóval az integrálszámítás előtt.
Hányszorosára nő a térfogat, ha duplázom a sugarat?
Nyolcszorosára, mert a sugár a harmadik hatványon áll: (2r)3 = 8r3. A felszín ugyanekkor csak négyszeresére nő, mert ott a sugár négyzeten szerepel.