Testek: felszín és térfogat
A gúla térfogata
Egy gúla pontosan harmadannyit fogad be, mint az ugyanolyan alapú és magasságú hasáb. Itt van, miért – és hogyan találod meg a magasságot, ha a feladat mást ad meg.
Röviden a válasz
A gúla térfogata V = Ta · m3, ahol Ta az alaplap területe, m pedig a testmagasság: a csúcs merőleges távolsága az alaplaptól. A hármas osztó azért van ott, mert három egyforma gúla tölt ki pontosan egy azonos alapú és magasságú hasábot.
Négyzet alapú gúlánál Ta = a2, tehát V = a2 · m3. Ha a = 6 cm és m = 10 cm, akkor V = 36 · 103 = 120 cm³.
Gúla térfogatkalkulátor
Add meg az alaplap területét és a testmagasságot. Négyzet alapú gúlánál az alapterület az alapél négyzete – itt 6 cm-es alapél, azaz 36 cm².
Az alaplap területe és a gúla magassága. A palásttal a felszín is kijön.
- Alapterület
- –
- m magasság
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért osztunk hárommal?
Vegyél egy kockát, és kösd össze a középpontját mind a nyolc csúccsal. Hat egyforma gúlára esik szét, amelyek alapja a kocka egy-egy lapja. Ugyanezt a gondolatot általánosítva: egy hasáb három azonos térfogatú gúlára bontható, amelyek alaplapja és magassága megegyezik a hasábéval. Innen a harmad.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Négyzet alapú gúla: a = 6 cm, m = 10 cm
Mekkora a gúla térfogata?
- Az alaplap egy négyzet:Ta = a2 = 62 = 36 cm2
- Szorozd a magassággal:Ta · m = 36 · 10 = 360 cm3
- Oszd hárommal:V = 3603 = 120 cm3
EredményV = 120 cm³
Kidolgozott példa · Oldallap-magasságból: a = 16 cm, m_o = 17 cm
Mekkora a térfogat, ha a feladat nem a testmagasságot, hanem az oldallap magasságát adja meg?
- Az oldallap-magasság, a testmagasság és az alapél fele derékszögű háromszöget alkot:mo2 = m2 + (a2)2
- A fél alapél 8 cm, ezért:m = √172 − 82 = √289 − 64 = √225 = 15 cm
- Az alaplap:Ta = 162 = 256 cm2
- A térfogat:V = 256 · 153 = 38403 = 1280 cm3
EredményV = 1280 cm³
Kidolgozott példa · Háromszög alapú gúla: befogók 5 cm és 4 cm, m = 9 cm
Az alaplap egy derékszögű háromszög. Mekkora a gúla térfogata?
- Az alaplap területe derékszögű háromszögnél a két befogó szorzatának fele:Ta = 5 · 42 = 10 cm2
- Behelyettesítés a gúlaképletbe:V = 10 · 93
- Az eredmény:V = 30 cm3
EredményV = 30 cm³
A képlet bármilyen alaplapra működik: háromszögre, négyzetre, hatszögre, sőt szabálytalan sokszögre is. Csak Ta kiszámítása változik – a Ta · m3 szerkezet marad.
Gúla és hasáb: a harmad szabály
| Test | Térfogat | Ta = 36 cm², m = 10 cm esetén |
|---|---|---|
| Hasáb | V = Ta · m | 360 cm³ |
| Gúla | V = Ta · m3 | 120 cm³ |
| Henger | V = r2 · π · m | ugyanaz a szerkezet, kör alappal |
| Kúp | V = r2 · π · m3 | a henger harmada |
A táblázat lényege: a csúcsos testek (gúla, kúp) mindig a megfelelő „hengeres” test harmadát adják. Ezért ha egy gúlás eredményed nagyobb, mint az azonos alapú hasáb térfogata, biztosan kimaradt a hárommal osztás.
Mértékegységek és gyakorlati feladatok
A térfogat mindig köbegység: cm³, dm³, m³. Ha az élek méterben vannak, az eredmény m³-ben jön. Fontos váltószámok: 1 dm³ = 1000 cm³ = 1 liter, 1 m³ = 1000 dm³. Egy piramis alakú, 8 m × 8 m alapú, 3 m magas tetőszerkezet légtere például V = 64 · 33 = 64 m³.
Ha az alaplap szabályos sokszög, előbb annak a területét kell kiszámolni. Szabályos hatszögnél például Ta = 3 · √32 · a2, és onnan már ugyanaz a harmadolás. A további váltásokhoz a térfogat mértékegységei oldal ad táblázatot.
Gyors önellenőrzés
Egy négyzet alapú gúla alapéle 9 cm, magassága 4 cm. Mekkora a térfogata?
Egy gúla térfogata 200 cm³, alapterülete 50 cm². Mekkora a magassága?
Hányszorosára nő a térfogat, ha az alapélt megkétszerezed, a magasságot változatlanul hagyod?
Miért nem az oldalél szerepel a térfogatképletben?
Gyakori kérdések
Mi a gúla térfogatának képlete?
V = Ta · m3, ahol Ta az alaplap területe, m a testmagasság. Négyzet alapú gúlánál ez V = a2 · m3.
Hogyan számolom ki a négyzet alapú gúla térfogatát?
Emeld négyzetre az alapélt, szorozd a testmagassággal, és oszd hárommal. Ha a = 6 cm és m = 10 cm, akkor V = 36 · 103 = 120 cm³.
Miért kell hárommal osztani a gúla térfogatánál?
Mert egy hasáb pontosan három azonos térfogatú gúlára bontható, amelyek alaplapja és magassága a hasábéval egyezik. A gúla tehát az azonos alapú és magasságú hasáb harmada.
Mit tegyek, ha a feladat az oldallap magasságát adja meg a testmagasság helyett?
Használj Pitagorasz-tételt: m = √mo2 − (a2)2. Ha mo = 17 cm és a = 16 cm, akkor m = √289 − 64 = 15 cm.
Hogyan kapom meg a gúla magasságát a térfogatból?
Rendezd át a képletet: m = 3 · VTa. Egy 200 cm³ térfogatú, 50 cm² alapterületű gúla magassága 12 cm.
Mennyi a háromszög alapú gúla térfogata?
Ugyanaz a képlet, csak az alapterület a háromszögé. Derékszögű alapháromszögnél (befogók 5 cm és 4 cm) Ta = 10 cm², és m = 9 cm mellett V = 30 cm³.