Testek: felszín és térfogat
A gúla felszíne
A felszín maga egy összeadás – a munka az oldallapok magasságának előállítása. Ez a lap arra a derékszögű háromszögre épül, amit a legtöbben nem vesznek észre a gúla belsejében.
Röviden a válasz
A gúla felszíne az alaplap területének és a palástnak az összege: A = Ta + P. Négyzet alapú gúlánál a palást négy egyenlő szárú háromszög: P = 4 · a · mo2, ahol mo az oldallap magassága.
Az mo ritkán van megadva – általában a testmagasságból számolod Pitagorasz-tétellel: mo = √m2 + (a2)2.
Gúlakalkulátor
Add meg az alaplap területét, a magasságot és a palástot – a felszín és a térfogat is megjelenik.
Az alaplap területe és a gúla magassága. A palásttal a felszín is kijön.
- Alapterület
- –
- m magasság
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A felszín képlete és a három magasság
A képlet egyszerű, a buktató a jelölésekben van. Egy négyzet alapú gúlában három különböző szakaszt hívhatnál „magasságnak”, és a feladatok fele azon múlik, hogy melyiket ismered fel.
- Testmagasság (m): a csúcs merőleges távolsága az alaplaptól. Ez kell a térfogathoz.
- Oldallapmagasság (mo): az oldallap-háromszög magassága az alapélhez. Ez kell a felszínhez.
- Oldalél (b): a csúcsot az alaplap egyik sarkával összekötő szakasz. Ez a leghosszabb a három közül.
Kidolgozott példa: felszín és térfogat együtt
Kidolgozott példa · Négyzet alapú gúla: a = 8 cm, m = 3 cm
Mekkora a gúla felszíne és térfogata?
- Az alaplap területe:Ta = a2 = 82 = 64 cm2
- Oldallapmagasság a belső derékszögű háromszögből:mo = √m2 + (a2)2 = √32 + 42 = √25 = 5 cm
- Egy oldallap területe:To = a · mo2 = 8 · 52 = 20 cm2
- A palást négy ilyen háromszög:P = 4 · 20 = 80 cm2
- Felszín:A = Ta + P = 64 + 80 = 144 cm2
- Térfogat (a hasáb harmada):V = Ta · m3 = 64 · 33 = 64 cm3
EredményA = 144 cm², V = 64 cm³
Ha az oldalélt adják meg
A feladatok másik gyakori formája nem a testmagasságot, hanem az oldalélt közli. Ilyenkor is Pitagorasz-tétellel indulsz, csak másik derékszögű háromszögben: az oldalél, az alapél fele és az oldallapmagasság alkotja.
Kidolgozott példa · a = 12 cm alapél, b = 10 cm oldalél
Mekkora a négyzet alapú gúla felszíne és térfogata?
- Az oldallap egyenlő szárú háromszög, magassága felezi az alapélt:mo = √b2 − (a2)2 = √100 − 36 = 8 cm
- Palást (négy háromszög):P = 4 · 12 · 82 = 4 · 48 = 192 cm2
- Alaplap:Ta = 122 = 144 cm2
- Felszín:A = 144 + 192 = 336 cm2
- Testmagasság az mo-ból:m = √mo2 − (a2)2 = √64 − 36 = √28 = 5,2915 cm
- Térfogat:V = 144 · 5,29153 = 253,99 cm3
EredményA = 336 cm², V ≈ 253,99 cm³
Más alaplapok
| Alaplap | Alapterület | Palást |
|---|---|---|
| Négyzet (a) | Ta = a2 | P = 2 · a · mo |
| Szabályos háromszög (a) | Ta = a2 · √34 | P = 3 · a · mo2 |
| Téglalap (a, c) | Ta = a · c | két-két különböző háromszög összege |
| Szabályos sokszög | Ta = Ka · r2 (r = beírt kör sugara) | P = Ka · mo2 |
A szabályos sokszög alapú gúlánál az összes oldallap egybevágó, ezért a palást egyszerűen az alap kerületének és az oldallapmagasságnak a fele szorzata. Téglalap alapnál viszont kétféle oldallap van, két különböző mo értékkel – ezeket külön kell számolni.
A térfogatról részletesen a gúla térfogata oldalon írunk, a levágott csúcsú változatról pedig a csonka gúla felszíne oldalon. Ha kör az alaplap, a kúp felszíne a megfelelő oldal, a Pitagorasz-tétel gyakorlásához pedig a Pitagorasz-tétel oldal.
Gyors önellenőrzés
Egy négyzet alapú gúla alapéle 10 cm, oldallapmagassága 12 cm. Mekkora a felszíne?
Melyik magasság kell a térfogathoz, és melyik a palásthoz?
Egy gúla felszíne 144 cm², az alaplapja 64 cm². Mekkora a palást?
Gyakori kérdések
Mi a gúla felszínének képlete?
A gúla felszíne A = Ta + P, vagyis az alaplap területe plusz a palást. Négyzet alapú gúlánál a palást négy egybevágó háromszög: P = 4 · a · mo2 = 2 · a · mo, ahol mo az oldallap magassága.
Hogyan számolom ki az oldallap magasságát?
A testmagasságból Pitagorasz-tétellel: mo = √m2 + (a2)2. Ha a = 8 cm és m = 3 cm, akkor mo = √9 + 16 = 5 cm. Ha az oldalél ismert, akkor mo = √b2 − (a2)2.
Mennyi a gúla felszíne és térfogata ugyanabból az adatból?
A felszín A = Ta + P, a térfogat V = Ta · m3. Az a = 8 cm alapélű, m = 3 cm magas négyzet alapú gúlánál A = 144 cm² és V = 64 cm³ – a felszínhez az oldallapmagasság (5 cm), a térfogathoz a testmagasság (3 cm) kell.
Mi a különbség a testmagasság, az oldallapmagasság és az oldalél között?
A testmagasság a csúcs merőleges távolsága az alaplaptól, az oldallapmagasság az oldallap-háromszög magassága az alapélhez, az oldalél pedig a csúcsot az alap sarkával köti össze. Hosszuk sorrendje mindig m < mo < b.
Hogyan számolom a szabályos háromszög alapú gúla felszínét?
Az alaplap területe Ta = a2 · √34, a palást pedig három egybevágó háromszög: P = 3 · a · mo2. A felszín ezek összege.