Testek: felszín és térfogat
Háromszög alapú hasáb térfogata
A képlet könnyű, a buktató az alapháromszög területe. Itt mind a három szokásos alapesetre megvan a számolás – és az is, hogyan ne keverd össze a kétféle magasságot.
Röviden a válasz
A háromszög alapú hasáb térfogata az alapháromszög területének és a hasáb magasságának a szorzata: V = Ta · m. Ha az alapháromszög két befogója 6 cm és 8 cm, a hasáb magassága pedig 12 cm, akkor Ta = 24 cm², vagyis V = 24 · 12 = 288 cm³.
A munka nagyobbik része tehát a háromszög területe: derékszögű alapnál a két befogó szorzatának a fele, szabályosnál a2 · √34, három megadott oldalból pedig a Héron-képlet.
Hasábkalkulátor
Írd be az alapháromszög területét és a hasáb magasságát. Ha az alapháromszög kerületét is megadod, a palást és a felszín is megjelenik.
Az alaplap területe és a test magassága kell; az alap kerületével a felszín is megvan.
- Alapterület
- –
- Alap kerülete
- –
- m magasság
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és ami mögötte van
Ez ugyanaz a gondolat, mint minden hasábnál: a testet egyforma szeletekből rakod össze. Egy 1 cm vastag szelet térfogata az alapterület szorozva 1 cm-rel, és ha m darab ilyen szelet van egymáson, akkor V = Ta · m. Semmi külön „háromszöges” szabály nincs benne – a háromszög csak abban különbözik, hogy az alapterületet másképp kell kiszámolni.
Derékszögű alapháromszög
Ez a leggyakoribb feladattípus, mert ilyenkor az alapterület egyetlen szorzás és egy felezés: a két befogó egymásra merőleges, tehát az egyik magasságként viselkedik a másikhoz.
Kidolgozott példa · Befogók 6 cm és 8 cm, a hasáb magassága 12 cm
Mekkora a hasáb térfogata és felszíne?
- Az alapháromszög területe (a két befogó szorzatának a fele):Ta = 6 · 82 = 24 cm2
- Térfogat – alapterület szorozva a hasáb magasságával:V = 24 · 12 = 288 cm3
- A harmadik oldal (átfogó) Pitagorasz-tétellel:c = √62 + 82 = √100 = 10 cm
- Az alap kerülete, vagyis a palást „szélessége”:K = 6 + 8 + 10 = 24 cm
- A palást három téglalap, együtt:P = K · m = 24 · 12 = 288 cm2
- A felszín a két alaplap és a palást összege:A = 2 · 24 + 288 = 336 cm2
EredményV = 288 cm³ és A = 336 cm²
Szabályos és általános alapháromszög
Ha az alap szabályos (minden oldala egyenlő), kész képlettel dolgozhatsz. Ha három tetszőleges oldalt adnak meg, a Héron-képlet segít – a térfogatképlet mindkét esetben ugyanaz marad.
Kidolgozott példa · Szabályos alapháromszög, a = 10 cm, a hasáb magassága 7 cm
Mekkora a térfogat? Az eredményt két tizedesre kerekítsd.
- A szabályos háromszög területe:Ta = a2 · √34 = 100 · 1,73214
- Kiszámolva:Ta = 43,30 cm2
- Szorozz a hasáb magasságával:V = 43,30 · 7 = 303,11 cm3
EredményV ≈ 303,11 cm³
| Amit az alapról tudsz | Az alapterület képlete | Példa |
|---|---|---|
| Két befogó (derékszögű) | Ta = a · b2 | 6 és 8 → 24 cm² |
| Egy oldal és a hozzá tartozó magasság | Ta = a · ma2 | 12 és 5 → 30 cm² |
| Mindhárom oldal (Héron) | Ta = √s(s-a)(s-b)(s-c) | 13, 14, 15 → 84 cm² |
| Szabályos háromszög | Ta = a2 · √34 | 10 → 43,30 cm² |
A Héron-képletben s a félkerület. A táblázat harmadik sorával például: ha az alapháromszög oldalai 13 cm, 14 cm és 15 cm, akkor s = 21 cm és Ta = 84 cm², tehát egy 10 cm magas hasáb térfogata 84 · 10 = 840 cm³. A részletes levezetés a háromszög területe oldalakból oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög alapú hasáb alapterülete 15 cm², magassága 9 cm. Mekkora a térfogata?
Egy hasáb térfogata 210 cm³, a magassága 6 cm. Mekkora az alapháromszög területe?
Miért nem elég a palásthoz az alapterület?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög alapú hasáb térfogatának képlete?
V = Ta · m, ahol Ta az alapháromszög területe, m pedig a hasáb magassága. Ugyanez a képlet érvényes minden egyenes hasábra, csak az alapterület kiszámítása változik.
Hogyan számolom ki az alapháromszög területét?
Derékszögű alapnál a két befogó szorzatának a fele, egy oldalból és a hozzá tartozó magasságból a · ma2, három oldalból Héron-képlettel, szabályos háromszögnél pedig a2 · √34.
Mekkora a háromszög alapú hasáb felszíne?
A = 2 · Ta + K · m, vagyis a két háromszöglap és a három oldaltéglalap összege. A 6–8–10 cm-es alapú, 12 cm magas hasábnál ez 2 · 24 + 24 · 12 = 336 cm².
Mi a különbség a hasáb magassága és az alapháromszög magassága között?
Az alapháromszög magassága a lapon belül, a terület kiszámításához kell. A hasáb magassága az oldalélek hossza, vagyis a két háromszöglap távolsága – ezzel szorzol a legvégén.
Ferde hasábnál is ugyanez a képlet?
A térfogatnál igen, de ott az m a két alaplap merőleges távolsága, nem az oldalél hossza. A felszín viszont ferde hasábnál más, mert az oldallapok paralelogrammák lesznek.