Pitagorasz-tétel
Pitagorasz-tétel
Egyetlen egyenlet, ami a derékszögű háromszög három oldalát összeköti – és amiből az átfogó, a befogó, az átlók és a testátlók is kiszámolhatók.
Röviden a válasz
A Pitagorasz-tétel szerint derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a2 + b2 = c2. Az átfogó a derékszöggel szemközti, egyben leghosszabb oldal.
Ebből az átfogó c = √a2 + b2, a hiányzó befogó pedig kivonással jön: a = √c2 − b2. A tétel kizárólag derékszögű háromszögre igaz, viszont minden olyan feladat megoldható vele, amiben derékszög keletkezik – átló, magasság, távolság.
Pitagorasz-tétel kalkulátor
Írd be a két befogót az átfogóhoz – vagy az átfogót és az egyik befogót a hiányzó oldalhoz.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit mond ki a Pitagorasz-tétel?
A tétel a derékszögű háromszög három oldala közötti kapcsolatot írja le. A derékszöget közrefogó két oldal a befogó (a és b), a derékszöggel szemközti oldal az átfogó (c). Ebben az elrendezésben mindig igaz:
Az átfogó és a befogó kiszámítása
A tételnek egyetlen alakja van, de két irányba használjuk. Ha a két befogót ismered, összeadsz; ha az átfogót és egy befogót, kivonsz. Mindkét esetben a végén gyököt vonsz.
Kidolgozott példa · Befogók: 8 cm és 15 cm – mekkora az átfogó?
Adott egy derékszögű háromszög két befogója. Az átfogót keressük.
- Írd fel a tételt átfogóra rendezve:c2 = a2 + b2
- Helyettesíts be és emelj négyzetre:c2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289
- Vonj gyököt:c = √289 = 17 cm
Eredményc = 17 cm. Ellenőrzés: az átfogó nagyobb mindkét befogónál, de kisebb az összegüknél (15 < 17 < 23).
Kidolgozott példa · Átfogó: 26 cm, egyik befogó: 10 cm
A hiányzó befogót keressük.
- Az átfogó ismert, ezért a tételt kivonásra rendezzük:b2 = c2 − a2
- Behelyettesítve:b2 = 262 − 102 = 676 − 100 = 576
- Gyököt vonva:b = √576 = 24 cm
Eredményb = 24 cm, tehát a háromszög oldalai 10, 24 és 26 cm.
A számokkal kapcsolatban egy fontos apróság: a a2 + b2 négyzetgyöke nem egyenlő a + b-vel. A 8 és a 15 összege 23, az átfogó viszont csak 17 cm. A négyzetre emelés és a gyökvonás nem „ejti át" egymást tagonként.
Amikor nem jön ki szép szám
A tankönyvi feladatok jó része egész eredményt ad, de ez nem törvényszerű. Ha a gyök alatti szám nem négyzetszám, hagyd meg gyökös alakban, vagy kerekíts két tizedesjegyre – de csak a legvégén, különben halmozódik a kerekítési hiba.
Kidolgozott példa · Befogók: 4 cm és 6 cm
Mekkora az átfogó? Kerekíts két tizedesjegyre.
- Négyzetek összege:c2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
- Az 52 nem négyzetszám, ezért pontos alakban:c = √52 = 2 · √13
- Közelítő érték:c = 7,21 cm
Eredményc = √52 = 7,21 cm (két tizedesjegyre kerekítve).
Mikor használhatod – és mikor nem
A tétel feltétele egyetlen dolog: legyen a háromszögben derékszög. Ez sokszor nincs kimondva, hanem a feladat helyzetéből következik – fal és talaj, téglalap két oldala, magasságvonal és alap, koordináta-tengelyek.
| Helyzet | Melyik két szakasz merőleges | Mit számolsz ki |
|---|---|---|
| Téglalap átlója | a két szomszédos oldal | az átló hossza |
| Egyenlő szárú háromszög magassága | a magasság és az alap fele | a magasság vagy a szár |
| Létra a falnál | a fal és a talaj | a létra hossza vagy a faltól mért távolság |
| Kör húrja | a középponti merőleges és a húr fele | a húr hossza vagy a sugár |
| Koordináta-rendszer | a vízszintes és a függőleges eltérés | két pont távolsága |
Ha nincs derékszög, a tétel helyett a koszinusztétel jön: c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ. Derékszögnél cos 90° = 0, így az utolsó tag eltűnik – a Pitagorasz-tétel tehát a koszinusztétel speciális esete. A háromszög tételei oldalon látod, hogyan illeszkedik a többi összefüggés mellé.
Pitagoraszi számhármasok
Azokat az egész számhármasokat, amelyekre teljesül a tétel, pitagoraszi számhármasnak hívjuk. Érdemes néhányat fejből tudni: ha felismered őket, egy pillanat alatt megvan az eredmény, és az is látszik, ha elszámoltad magad.
| Befogók | Átfogó | Ellenőrzés |
|---|---|---|
| 3 és 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 és 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 és 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 és 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 és 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Minden hármas többszöröse is hármas marad: a 3–4–5 kétszerese a 6–8–10, ötszöröse a 15–20–25. A képzésükről és a teljes listáról a pitagoraszi számhármasok oldalon olvashatsz.
Honnan tudjuk, hogy igaz?
A tételre több száz bizonyítás létezik. A legszemléletesebb az átdarabolós: két egyforma, (a+b) oldalú négyzetbe kétféleképpen rakod be ugyanazt a négy derékszögű háromszöget, és a maradék terület egyszer a2 + b2, másszor c2. Mivel a maradékok egyenlők, a két kifejezés is egyenlő. A részletes levezetéseket – az átdarabolóst, a hasonlóságit és Garfield trapézos bizonyítását – a Pitagorasz-tétel bizonyítása oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 12 cm. Mekkora az átfogó?
Az átfogó 25 cm, az egyik befogó 20 cm. Mekkora a másik befogó?
Miért nem lehet egy derékszögű háromszög két befogója 10 cm és 14 cm, ha az átfogó 17 cm?
Egy négyzet oldala 6 cm. Mekkora az átlója?
Gyakori kérdések
Mit mond ki a Pitagorasz-tétel?
Azt, hogy derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével: a2 + b2 = c2. Az átfogó a derékszöggel szemközti, leghosszabb oldal.
Hogyan számolom ki az átfogót a Pitagorasz-tétellel?
Emeld négyzetre mindkét befogót, add össze őket, majd vonj gyököt: c = √a2 + b2. Ha a befogók 8 és 15 cm, akkor c = √64 + 225 = √289 = 17 cm.
Hogyan számolom ki a befogót?
Az átfogó négyzetéből vond ki az ismert befogó négyzetét, és abból vonj gyököt: b = √c2 − a2. Ha az átfogó 26 cm és az egyik befogó 10 cm, a másik √676 − 100 = 24 cm.
Használhatom a Pitagorasz-tételt bármelyik háromszögben?
Nem, csak derékszögűben. Hegyesszögű háromszögben a2 + b2 > c2, tompaszögűben a2 + b2 < c2, és mindkét esetben a koszinusztételre van szükség.
Mi a Pitagorasz-tétel fogalma egy mondatban?
Derékszögű háromszögben a befogókra emelt két négyzet területének összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével. A tétel a hosszak helyett tulajdonképpen területekről szól.
Melyik oldal az átfogó?
Mindig a derékszöggel szemközti oldal, és ez egyben a háromszög leghosszabb oldala is. A szokásos jelölésben a derékszög a C csúcsnál van, tehát az átfogó a c oldal.