Szabályos háromszög területe – képlet és levezetés

Q: Mi a szabályos háromszög területének a képlete?

T = (a² · √(3))/(4), ahol a az oldal hossza. Számmal ez azt jelenti, hogy a terület az oldal négyzetének körülbelül 0,433-szorosa.

Q: Hogyan számolom ki a szabályos háromszög területét a magasságból?

Használd a T = (m²)/(√(3)) alakot. Például 6 cm magasságnál T = (36)/(1,7321) = 20,78 cm². Ha inkább az oldalt szeretnéd, a = (2 · m)/(√(3)).

Q: Hogyan kapom meg az oldalt, ha a területet ismerem?

Rendezd át a képletet: a = √((4 · T)/(sqrt(3))). Például 100 cm² területnél a² = 230,94, tehát a = 15,20 cm.

Szabályos háromszög kalkulátor

Elég egyetlen adat: oldal, magasság, kerület vagy terület – a többit kiszámoljuk.

azonnal számol

Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.

Példa:

a oldal: –
m_a magasság: –
Terület: –
Kerület: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A képlet és ami mögötte van

A szabályos háromszög (más néven egyenlő oldalú háromszög) mindhárom oldala egyforma, mindhárom szöge 60°. Ezért egyetlen szám, az a oldalhossz teljesen meghatározza – a területéhez sem kell semmi más.

Szabályos háromszög területeT = a² · √34Ahol a az oldal hossza. A √34 értéke kerekítve 0,433.

Honnan jön a gyök 3?

A magasság felezi az alapot, és a háromszöget két egybevágó, derékszögű darabra vágja. Az egyik darabban az átfogó a, az egyik befogó a2, a másik befogó pedig maga a magasság. Pitagorasz-tétellel:

A magasság négyzetem² = a² − (a2)² = a² − a²4 = 3a²4

Innen a magasságm = a · √32

Behelyettesítve a területképletbeT = a · m2 = a2 · a · √32 = a² · √34

A magasság felezi az alapot és a 60°-os csúcsszöget is: két 30–60–90 fokos derékszögű háromszög keletkezik.

Kidolgozott példa

Kidolgozott példa · a = 10 cm oldalú szabályos háromszög

Mekkora a magassága, a kerülete és a területe?

Kerület – három egyforma oldal:K = 3 · 10 = 30 cm
Magasság:m = 10 · √32 = 5 · 1,7321 = 8,66 cm
Terület a képletből:T = 10² · √34 = 100 · 1,73214
Kiszámolva:T = 43,30 cm²
Ellenőrzés az alapképlettel:T = 10 · 8,662 = 43,3 cm²

EredményT = 43,30 cm², m = 8,66 cm, K = 30 cm

Visszafelé: területből oldal

Ha a területet ismered, és az oldalra vagy kíváncsi, rendezd át a képletet. Ez érettségi feladatokban gyakori lépés.

Oldal a területbőla = √4 · T√3

Kidolgozott példa · T = 100 cm²

Mekkora a szabályos háromszög oldala, ha a területe 100 cm²?

Indulj a képletből, és szorozz 4-gyel:4 · 100 = a² · √3
Oszd el √3-mal:a² = 4001,7321 = 230,94
Vonj gyököt:a = √230,94 = 15,20 cm

Eredménya = 15,20 cm

Ha csak a magasságot ismered

Előfordul, hogy a feladat a magasságot adja meg – például mert a háromszög egy szabályos hatszög hatoda, vagy mert szerkesztésből származik. Ilyenkor sem kell visszakerülni az oldalhoz, van közvetlen képlet:

Terület a magasságbólT = m²√3Mert a = 2 · m√3, és ezt behelyettesítve az alapképletbe éppen ez jön ki.

Kidolgozott példa · m = 6 cm magasságú szabályos háromszög

Mekkora az oldala és a területe?

Az oldal a magasságból:a = 2 · 6√3 = 121,7321 = 6,93 cm
Terület az alapképlettel:T = 6,93 · 62 = 20,78 cm²
Vagy közvetlenül:T = 6²√3 = 361,7321 = 20,78 cm²

Eredménya = 6,93 cm, T = 20,78 cm²

Gyors táblázat gyakori oldalhosszakhoz

Szabályos háromszög magassága és területe (két tizedesre kerekítve)
Oldal (cm)	Magasság (cm)	Terület (cm²)
2	1,73	1,73
4	3,46	6,93
5	4,33	10,83
8	6,93	27,71
10	8,66	43,30
20	17,32	173,21

A magasság önálló levezetését a szabályos háromszög magassága, a kerületet a szabályos háromszög kerülete oldalon találod. Ha általánosabb képletgyűjteményre van szükséged, nézd meg a háromszög területe képletek összeállítást.

Gyors önellenőrzés

Mekkora egy 6 cm oldalú szabályos háromszög területe?

T = 6² · √34 = 36 · 1,73214 = 15,59 cm².

Egy szabályos háromszög kerülete 24 cm. Mekkora a területe?

Az oldal 24 : 3 = 8 cm, így T = 64 · 1,73214 = 27,71 cm².

Igaz-e, hogy a szabályos háromszög területe mindig kisebb, mint az oldalhosszának a négyzete?

Igaz. A szorzótényező √34 ≈ 0,433, ami 1-nél kisebb, tehát a terület az oldal négyzetének kevesebb mint fele.

Gyakori kérdések

Mi a szabályos háromszög területének a képlete?

T = a² · √34, ahol a az oldal hossza. Számmal ez azt jelenti, hogy a terület az oldal négyzetének körülbelül 0,433-szorosa.

Ugyanaz a szabályos és az egyenlő oldalú háromszög?

Igen, a kettő ugyanaz: mindhárom oldal egyenlő, mindhárom szög 60°. A tankönyvek hol az egyik, hol a másik nevet használják, a képletek azonosak.

Hogyan számolom ki a szabályos háromszög területét a magasságból?

Használd a T = m²√3 alakot. Például 6 cm magasságnál T = 361,7321 = 20,78 cm². Ha inkább az oldalt szeretnéd, a = 2 · m√3.

Hogyan kapom meg az oldalt, ha a területet ismerem?

Rendezd át a képletet: a = √4 · T√3. Például 100 cm² területnél a² = 230,94, tehát a = 15,20 cm.

Miért szerepel gyök 3 a képletben?

Mert a magasság a 30–60–90 fokos derékszögű háromszögből származik, amelynek oldalaránya 1 : √3 : 2. A magasság a · √32, és ezt behelyettesítve az T = a · m2 alapképletbe adódik a a² · √34 alak.