Szögszámítás
A háromszög külső szögeinek összege
A 360° nem véletlen szám. Két különböző úton is odajutunk – az egyik puszta kivonás, a másik egy séta a háromszög körül.
Röviden a válasz
A háromszög külső szögeinek összege 360°, csúcsonként egy külső szöget számítva. Ez minden háromszögre igaz, alaktól és mérettől függetlenül.
A levezetés egy sor: minden csúcsnál a belső és a külső szög együtt 180°, három csúcsnál ez 3 · 180° = 540°, ebből a belső szögek 180°-át levonva marad 540° − 180° = 360°.
Mi számít külső szögnek?
A külső szög úgy keletkezik, hogy az egyik oldalt túlhosszabbítod a csúcson, és megnézed, mekkora szöget zár be ez a meghosszabbítás a csúcsból induló másik oldallal. Mivel a meghosszabbítás és az eredeti oldal egyenesszöget alkot, a belső és a külső szög egy csúcsnál mindig kiegészíti egymást 180°-ra.
Első levezetés: 540° mínusz 180°
Ez a leggyorsabb út, és pontosan ezt szokták dolgozatban kérni. Írd fel mind a három csúcsra a kiegészítést, majd add össze őket.
A levezetés lépései
- Csúcsonként 180°Az A csúcsnál α + α' = 180°, a B-nél β + β' = 180°, a C-nél γ + γ' = 180°.
- ÖsszeadásA három egyenletet összeadva: (α + β + γ) + (α' + β' + γ') = 3 · 180° = 540°.
- A belső szögek behelyettesítéseTudjuk, hogy α + β + γ = 180°, ezt beírva: 180° + (külső szögek összege) = 540°.
- KivonásMarad: α' + β' + γ' = 540° − 180° = 360°.
Második levezetés: a körbejárás
Ez a szemléletesebb magyarázat. Képzeld el, hogy végigsétálsz a háromszög kerületén, mindig ugyanabban az irányban. Az egyik oldalon haladva a csúcshoz érsz, ott elfordulsz – és az elfordulás szöge pontosan a külső szög, hiszen a régi irány meghosszabbítása és az új irány között fordulsz el.
Amikor visszaérsz a kiindulópontra, ugyanabba az irányba nézel, mint induláskor: összesen egy teljes fordulatot tettél meg. Egy teljes fordulat 360°, és mivel az elfordulások éppen a külső szögek, az összegük is 360°.
A belső és külső szögek összege együtt
A „háromszög külső és belső szögeinek összege" kérdésre a válasz 540° – ez a levezetés második lépésében már meg is jelent. A három szám, amit érdemes fejben tartani:
| Mit adunk össze | Összeg | Miért |
|---|---|---|
| A három belső szög | 180° | A háromszög alaptétele |
| A három külső szög (csúcsonként egy) | 360° | 540° − 180° |
| Belső és külső szögek együtt | 540° | Három csúcs, csúcsonként 180° |
Kidolgozott példa · α = 63°, β = 48°
Számold ki mind a három külső szöget, és ellenőrizd az összegüket!
- A harmadik belső szög:γ = 180° − 63° − 48° = 69°
- Külső szög az A csúcsnál:α' = 180° − 63° = 117°
- Külső szög a B csúcsnál:β' = 180° − 48° = 132°
- Külső szög a C csúcsnál:γ' = 180° − 69° = 111°
- Az összegük:117° + 132° + 111° = 360°
EredményA külső szögek 117°, 132° és 111°, összegük pontosan 360°.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög két külső szöge 100° és 145°. Mekkora a harmadik?
Miért nem lehet egy külső szög 180°-nál nagyobb?
Lehet-e mindhárom külső szög egyenlő?
Hány külső szöge van összesen egy háromszögnek?
Gyakori kérdések
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?
360°, csúcsonként egy külső szöget számolva. Ez minden háromszögre igaz, akkor is, ha az egyik szög derékszög vagy tompaszög.
Mennyi a háromszög külső és belső szögeinek összege?
540°. Minden csúcsnál a belső és a külső szög együtt 180°, három csúcsnál ez 3 · 180° = 540°. Ebből 180° a belső, 360° a külső szögeké.
Hogyan vezethető le, hogy a külső szögek összege 360°?
A három csúcsra felírt belső + külső = 180° egyenleteket összeadva 540°-ot kapsz. Mivel a belső szögek összege 180°, a külsőkre 540° − 180° = 360° marad.
Igaz-e ez tompaszögű háromszögre is?
Igen. Tompaszögű háromszögben az egyik külső szög hegyesszög lesz (például 110°-os belső szöghöz 70°-os külső tartozik), de a három külső szög összege továbbra is pontosan 360°.
Mekkorák a derékszögű háromszög külső szögei?
A derékszöghöz tartozó külső szög szintén 90°, a másik kettő pedig a hegyesszögek kiegészítése. Például 30°–60°–90° esetén a külső szögek 150°, 120° és 90°, összesen 360°.