Tételek
Háromszög belső szögeinek aránya
Az arányfeladat mindig ugyanaz a két lépés: arányszámok összege, majd osztás. A nehézség inkább az, hogy az arány a szögekre vagy az oldalakra vonatkozik-e – ezt itt szétszálazzuk.
Röviden a válasz
Ha a belső szögek aránya α : β : γ = p : q : r, akkor a szögek pk, qk és rk alakúak. Mivel az összegük mindig 180°, a közös szorzó k = 180°p + q + r – ezt visszaszorozva megkapod mindhárom szöget.
Például 3 : 4 : 5 arány esetén az arányszámok összege 12, tehát k = 15°, a szögek pedig 45°, 60° és 75°. Ellenőrzésnek add össze őket: pontosan 180°-ot kell kapnod.
Szögkalkulátor arányfeladatokhoz
Írd be a kiszámolt két szöget és egy oldalt – a harmadik szöget és a háromszög minden adatát megkapod. A kezdőérték a 3 : 4 : 5 arányú, 45° – 60° – 75°-os háromszög.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit jelent a belső szögek aránya?
Az α : β : γ = 3 : 4 : 5 arány nem azt mondja, hogy a szögek 3, 4 és 5 fokosak – hanem azt, hogy ugyanannyiszorosai egy közös egységnek. Ha ez az egység k, akkor α = 3k, β = 4k, γ = 5k. A k értéke nem lehet akármi, mert a szögösszeg kötött.
Példa: mindhárom szög aránya adott
Kidolgozott példa · α : β : γ = 3 : 4 : 5
Mekkorák a háromszög belső szögei?
- Az arányszámok összege:3 + 4 + 5 = 12
- A közös szorzó a szögösszegből:k = 180°12 = 15°
- A szögek sorra:α = 3 · 15° = 45°, β = 4 · 15° = 60°, γ = 5 · 15° = 75°
- Ellenőrzés:45° + 60° + 75° = 180°
EredményA szögek 45°, 60° és 75° – mindegyik hegyesszög, tehát hegyesszögű háromszög.
A módszer bármilyen arányra ugyanez, és a második példában rögtön többet is elárul a háromszögről:
Kidolgozott példa · α : β : γ = 2 : 3 : 5
Mekkorák a szögek, és milyen típusú a háromszög?
- Arányszámok összege:2 + 3 + 5 = 10
- A közös szorzó:k = 180°10 = 18°
- A szögek:α = 36°, β = 54°, γ = 90°
EredményA háromszög derékszögű, mert a legnagyobb szög pontosan 90° lett. Ez mindig így van, ha a legnagyobb arányszám épp fele az összegnek.
Ha csak két szög aránya ismert
Gyakori változat, hogy egy szöget megadnak fokban, és csak a másik kettő arányát közlik. Ilyenkor előbb vond ki a 180°-ból az ismert szöget, és a maradékot oszd fel az arány szerint.
Kidolgozott példa · γ = 84°, és α : β = 3 : 5
Mekkora a másik két szög?
- A két ismeretlen szög összege:α + β = 180° − 84° = 96°
- Az arányszámok összege 8, ezért:k = 96°8 = 12°
- A két szög:α = 3 · 12° = 36°, β = 5 · 12° = 60°
Eredményα = 36° és β = 60°. Ellenőrzés: 36° + 60° + 84° = 180°.
Milyen háromszöget ad egy adott arány?
| Szögarány | A szögek | A háromszög |
|---|---|---|
| 1 : 1 : 1 | 60°, 60°, 60° | Szabályos |
| 1 : 1 : 2 | 45°, 45°, 90° | Egyenlő szárú derékszögű |
| 1 : 2 : 3 | 30°, 60°, 90° | A szabályos háromszög fele |
| 3 : 4 : 5 | 45°, 60°, 75° | Hegyesszögű |
| 2 : 3 : 5 | 36°, 54°, 90° | Derékszögű |
| 1 : 1 : 4 | 30°, 30°, 120° | Egyenlő szárú, tompaszögű |
A táblázatból két dolog is látszik. Egyrészt két egyenlő arányszám mindig egyenlő szárú háromszöget jelent, mert egyenlő szögekkel szemközt egyenlő oldalak állnak. Másrészt a szögarány a háromszög alakját rögzíti, a méretét nem: a 1 : 2 : 3 arányú háromszögből végtelen sok van, és mind hasonló egymáshoz.
Ha az arányból konkrét oldalhosszakat is szeretnél, egyetlen méretadatra van szükséged, és onnan a szinusztétel viszi tovább a számolást. Maga a szögösszeg-tétel bizonyítása a háromszög belső szögeinek összege oldalon található.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög belső szögeinek aránya 4 : 5 : 9. Mekkorák a szögek?
Lehet-e egy háromszög szögeinek aránya 1 : 2 : 6?
Egy derékszögű háromszög két hegyesszögének aránya 1 : 4. Mekkorák?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a szögeket, ha az arányukat ismerem?
Add össze az arányszámokat, oszd el velük a 180°-ot – ez a közös k szorzó –, majd szorozd meg vele külön-külön az arányszámokat. Például 3 : 4 : 5 aránynál k = 15°, a szögek 45°, 60° és 75°.
Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?
Pontosan 180°, minden háromszögben, típustól és mérettől függetlenül. Ez a szögösszeg-tétel, és minden arányfeladat ezen alapul.
A szögek aránya megegyezik az oldalak arányával?
Nem. A 45°, 60°, 75° szögű háromszög oldalai nem 3 : 4 : 5 arányúak. A kapcsolatot a szinusztétel adja: az oldalak aránya a szögek szinuszainak aránya, nem magáé a szögeké.
Mit csináljak, ha csak két szög arányát adják meg?
Vond ki a harmadik, ismert szöget a 180°-ból, és a maradékot oszd fel az arány szerint. Ha például γ = 84° és α : β = 3 : 5, akkor 96°-ot kell 3 : 5 arányban elosztani, így 36° és 60° jön ki.
Az arányból eldönthető, hogy derékszögű-e a háromszög?
Igen. Ha a legnagyobb arányszám egyenlő a másik kettő összegével, a legnagyobb szög 90°, tehát derékszögű a háromszög – például 2 : 3 : 5 esetén. Ha nagyobb náluk, tompaszögű, ha kisebb, hegyesszögű.