Szögszámítás
Háromszög belső szögeinek kiszámítása
Ha csak a három oldalt ismered, a belső szögek akkor is egyértelműek. A koszinusztétel pontosan ezt a kapcsolatot írja le – és általános háromszögben is működik, nem csak derékszögűben.
Röviden a válasz
A háromszög belső szögei a két-két oldal által bezárt szögek a háromszögön belül. Összegük mindig 180°, ezért két szögből a harmadik kivonással adódik.
Ha csak az oldalak ismertek, koszinusztétel kell: cos α = b2 + c2 − a22 · b · c. Az így kapott értékből az inverz cosinus (cos⁻¹) adja meg a szöget fokban. Ha az érték negatív, a szög tompaszög.
Belső szög kalkulátor
Add meg a három oldalt – mindhárom belső szöget kiszámoljuk fokban.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit nevezünk belső szögnek?
A belső szög az a szög, amelyet két oldal zár be a háromszög belsejében, a közös csúcsuknál. Minden háromszögnek három belső szöge van: α az A csúcsnál, β a B-nél, γ a C-nél. Mindegyik szöggel szemközt az azonos betűjelű oldal fekszik.
Ha két belső szög ismert
Ilyenkor nincs szükség se oldalra, se szögfüggvényre – a szögösszeg mindent elárul.
Kidolgozott példa · α = 52°, β = 71°
Mekkora a harmadik belső szög?
- A szögösszegből:γ = 180° − 52° − 71°
- Kivonás:γ = 180° − 123° = 57°
Eredményγ = 57°. Mivel mindhárom szög 90°-nál kisebb, a háromszög hegyesszögű.
Belső szögek kiszámítása három oldalból
Három oldal egyértelműen meghatároz egy háromszöget, tehát a szögeknek is ki kell jönniük belőlük. Az eszköz a koszinusztétel, amely a Pitagorasz-tétel általánosítása: derékszögnél a korrekciós tag eltűnik, és visszakapjuk az a2 + b2 = c2 alakot.
A szabály könnyen megjegyezhető: a keresett szöggel szemközti oldal négyzete kerül mínusszal a számlálóba, a másik kettő pluszzal, a nevezőben pedig a két „melletti" oldal kétszeres szorzata áll.
Kidolgozott példa · a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm
Számold ki mindhárom belső szöget!
- Az α szög cosinusa:cos α = 62 + 72 − 522 · 6 · 7 = 36 + 49 − 2584 = 6084 = 0,7143
- Inverz cosinusszal:α = cos-1 0,7143 = 44,42°
- A β szög cosinusa:cos β = 52 + 72 − 622 · 5 · 7 = 3870 = 0,5429
- Vagyis:β = cos-1 0,5429 = 57,12°
- A harmadikat már kivonással:γ = 180° − 44,42° − 57,12° = 78,46°
- Ellenőrzés koszinusztétellel:cos γ = 25 + 36 − 4960 = 0,2 → γ = 78,46°
Eredményα = 44,42°, β = 57,12°, γ = 78,46°.
Honnan tudod, hogy tompaszögű a háromszög?
A cosinus előjele elárulja. Ha a tört értéke negatív, a szög 90°-nál nagyobb; ha nulla, éppen derékszög; ha pozitív, hegyesszög. Ehhez nem kell végigszámolni: elég megnézni, hogy a számlálóban a levonás alá viszi-e a nullát.
Kidolgozott példa · a = 4 cm, b = 6 cm, c = 9 cm
Mekkora a leghosszabb oldallal szemközti szög?
- A c a leghosszabb oldal, tehát a γ szöget keressük:cos γ = 42 + 62 − 922 · 4 · 6 = 16 + 36 − 8148
- A számláló negatív:cos γ = -2948 = -0,6042
- Inverz cosinusszal:γ = cos-1 (-0,6042) = 127,17°
Eredményγ = 127,17°, a háromszög tompaszögű.
Derékszögű háromszögben nem kell koszinusztétel, ott elég egy szögfüggvény – lásd a derékszögű háromszög belső szögeinek kiszámítása oldalt. A tipikus feladattípusokat (arány, egyenlet, szinusztétel) pedig a háromszög szögeinek kiszámítása oldalon gyűjtöttük össze.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 6, 8 és 10 cm. Mekkora a leghosszabb oldallal szemközti szög?
Miért nem lehet egy háromszögnek két tompaszöge?
Mit jelent, ha a koszinusztételből 1-nél nagyobb cosinusérték jön ki?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a háromszög belső szögeit oldalakból?
Koszinusztétellel: cos α = b2 + c2 − a22 · b · c. Az inverz cosinus adja a szöget fokban. Két szög után a harmadikat már 180°-ból való kivonással kapod.
Mennyi a háromszög belső szögeinek összege?
Pontosan 180° minden háromszögben. Ez független a háromszög méretétől és alakjától.
Mi a különbség a belső és a külső szög között?
A belső szög a háromszögön belül, két oldal között van. A külső szög ennek a kiegészítő szöge: az oldal meghosszabbítása és a szomszédos oldal zárja be, értéke 180° mínusz a belső szög.
Elég két oldal a szögek kiszámításához?
Általános háromszögben nem: két oldalhoz kell még a közbezárt szög vagy a harmadik oldal. Derékszögű háromszögben viszont két oldal elég, mert a harmadik szög ismert (90°).
Mit jelent, ha a cosinus értéke negatív?
Azt, hogy a szög tompaszög, vagyis 90° és 180° közé esik. Az inverz cosinus ilyenkor is helyes értéket ad, nem kell külön korrigálni.