Tételek
Háromszög arányszámítás
Egyetlen szám, a hasonlósági arány elég ahhoz, hogy egy háromszög minden adatát átszámold a hasonló párjára – csak arra kell figyelni, hogy a terület máshogy skálázódik, mint a hosszak.
Röviden a válasz
Két hasonló háromszög között minden hosszjellegű adat ugyanazzal a k hasonlósági aránnyal váltható át: az oldalak, a kerület, a magasságok, a súlyvonalak és a körök sugarai is k-szorosukra nőnek. A terület viszont k2-szeresére, mert két hosszúság szorzata.
A k arányt bármelyik megfelelő oldalpár hányadosa megadja: k = a2a1. Ha például a kisebb háromszög oldalai 4, 6 és 7 cm, a nagyobbé pedig 12, 18 és 21 cm, akkor k = 3: a kerület háromszoros, a terület kilencszeres lesz.
Háromszög-kalkulátor arányfeladatokhoz
Számold ki az egyik háromszög adatait, majd írd be az oldalak $k$-szorosát – látni fogod, hogy a terület $k^2$ szerint ugrik meg. Kezdőérték: a 4 – 6 – 7 cm-es háromszög.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A hasonlósági arány kiszámítása
Az arányszámítás első lépése mindig ugyanaz: keresd meg a megfelelő oldalpárt, és oszd el a nagyobbat a kisebbel. A megfelelő oldalakat vagy a szögek, vagy a nagyság szerinti sorrend alapján párosítsd.
Kidolgozott példa · Kis háromszög: 4, 6, 7 cm – a nagyobb leghosszabb oldala 21 cm
Mekkorák a nagyobb háromszög oldalai és kerülete?
- A leghosszabb oldalak alkotnak megfelelő párt, innen az arány:k = 217 = 3
- A másik két oldal ugyanezzel a szorzóval:a2 = 4 · 3 = 12 cm, b2 = 6 · 3 = 18 cm
- A kis háromszög kerülete:K1 = 4 + 6 + 7 = 17 cm
- A nagyé ennek háromszorosa:K2 = 3 · 17 = 51 cm
- Ellenőrzés összeadással:12 + 18 + 21 = 51 cm
EredményA nagyobb háromszög oldalai 12, 18 és 21 cm, kerülete 51 cm.
A terület aránya: a négyzetre emelés
A terület mindig két hosszúság szorzatából jön (T = a · m2), ezért ha mindkét tényező k-szorosára nő, a szorzat k2-szeresére. Kétszeres nagyításnál a terület négyszeres, háromszorosnál kilencszeres lesz.
Kidolgozott példa · Két hasonló háromszög oldalainak aránya 3 : 5, a kisebb területe 18 cm²
Mekkora a nagyobb háromszög területe?
- A hasonlósági arány:k = 53
- A területek aránya ennek négyzete:k2 = 259
- A nagyobb terület:T2 = 18 · 259 = 2 · 25 = 50 cm2
EredményA nagyobb háromszög területe 50 cm². A területek aránya 18 : 50 = 9 : 25, pontosan az oldalarány négyzete.
| Adat | Szorzó | Példa k = 3 esetén |
|---|---|---|
| Oldalak, magasságok, súlyvonalak | k | Háromszoros |
| Kerület | k | Háromszoros |
| Beírt és körülírt kör sugara | k | Háromszoros |
| Terület | k2 | Kilencszeres |
| Szögek | 1 | Nem változnak |
A szögek azért maradnak változatlanul, mert a hasonlóság épp az alakot őrzi meg – erről szól a háromszög hasonlóságának alapesetei oldal.
Visszafelé: területarányból oldalarány
Ha a területek arányát ismered, az oldalarány ennek a négyzetgyöke. Ez az a lépés, amit érettségin a legtöbben kihagynak.
Arányszámítás a gyakorlatban: magasságmérés árnyékkal
A napsugarak párhuzamosak, ezért egy fa és a mellette álló ember ugyanolyan szögben veti az árnyékát. A két derékszögű háromszög így két egyenlő szögben osztozik, tehát hasonló – innen egy egyszerű aránypár mindent megold.
Kidolgozott példa · Egy 1,8 m magas ember árnyéka 2,4 m, a fa árnyéka 10 m
Milyen magas a fa?
- A magasság és az árnyék aránya mindkét háromszögben ugyanaz:1,82,4 = m10
- A bal oldal értéke:1,82,4 = 0,75
- Innen a fa magassága:m = 0,75 · 10 = 7,5 m
EredményA fa 7,5 m magas. A hasonlósági arány k = 102,4 = 4,17 – ennyivel nagyobb a fa háromszöge az emberénél.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög minden oldalát 1,5-szeresére nagyítjuk. Hányszorosára nő a területe?
Két hasonló háromszög területe 12 cm² és 108 cm². Mekkora a hasonlósági arány?
Egy háromszög kerülete 24 cm, területe 20 cm². Mekkora a kerülete és a területe a feleakkora hasonló háromszögnek?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki a hasonlósági arányt?
Oszd el a nagyobb háromszög egyik oldalát a másik háromszög neki megfelelő oldalával. Ha például a megfelelő oldalak 7 cm és 21 cm, akkor k = 3. Ugyanezt az arányt kell kapnod bármelyik másik oldalpárból is.
Hányszorosára nő a terület, ha az oldalak k-szorosára nőnek?
k2-szeresére. Kétszeres oldalaknál négyszeres, háromszorosnál kilencszeres a terület. A kerület viszont csak k-szoros, mert az hosszúságok összege.
Hogyan kapom meg az oldalarányt a területek arányából?
Vonj négyzetgyököt: k = √T2T1. Ha a területek aránya 9, az oldalaké 3; ha a területek aránya 2, az oldalaké √2 = 1,41.
Mire jó az arányszámítás a gyakorlatban?
Elérhetetlen távolságok és magasságok mérésére. Az árnyékos módszerrel például egy 1,8 m magas ember 2,4 m-es árnyékából és a fa 10 m-es árnyékából kijön, hogy a fa 7,5 m magas.
A magasság és a súlyvonal is a k arányban változik?
Igen. Hasonló háromszögekben minden hosszúság ugyanazzal a k aránnyal skálázódik: az oldalak, a magasságok, a súlyvonalak, a szögfelezők, valamint a beírt és a körülírt kör sugara is. Csak a terület viselkedik másképp.