Tételek
A háromszög egybevágóságának alapesetei
Az alapesetek egyben azt is megmondják, melyik három adatból szerkeszthető egyértelműen háromszög – ezért ugyanez a négy eset a szerkesztési feladatok alapja is.
Röviden a válasz
Két háromszög egybevágó, ha megfelelő oldalaik és szögeik páronként egyenlők – vagyis fedésbe hozhatók egymással. Ehhez nem kell mind a hat adatot ellenőrizni, elég a következő négy alapeset egyike: mindhárom oldal egyenlő (SSS); két oldal és a közbezárt szög egyenlő (SAS); egy oldal és a rajta fekvő két szög egyenlő (ASA); két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő (SSA).
Három szög egyenlősége nem elegendő: abból csak hasonlóság következik, mert a méret szabadon változhat. Ugyanígy nem elég két oldal és a kisebbikkel szemközti szög sem – ez a bizonytalan eset két különböző háromszöget is megenged.
A négy alapeset
| Jelölés | Az egyenlő adatok | Magyar név |
|---|---|---|
| SSS | Mindhárom oldal | Három oldal |
| SAS | Két oldal és a közbezárt szög | Két oldal és a közbezárt szög |
| ASA | Egy oldal és a rajta fekvő két szög | Egy oldal és két szög |
| SSA | Két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög | Két oldal és a nagyobb oldallal szemközti szög |
Mind a négy esetben három adat szerepel, és mindegyikben van legalább egy oldal. Ez nem véletlen: az oldal rögzíti a méretet, a további két adat pedig az alakot.
Az ASA eset: egy oldal és két szög
A szögeknek nem muszáj az oldalon feküdniük: ha bármelyik két szöget és bármelyik oldalt ismered, a háromszög egyértelmű. A harmadik szög ugyanis a 180°-os szögösszegből azonnal adódik, és onnan már el tudod dönteni, melyik szög fekszik az adott oldalon.
Kidolgozott példa · Az egyik háromszög: 8 cm-es oldal, rajta 47°-os és 68°-os szög. A másik: 8 cm-es oldal, rajta 47°-os és 65°-os szög.
Egybevágó-e a két háromszög?
- Az első háromszög harmadik szöge:180° − 47° − 68° = 65°
- A második háromszög harmadik szöge:180° − 47° − 65° = 68°
- Mindkettőben ugyanaz a három szög szerepel: 47°, 65° és 68°. A 8 cm-es oldal helyzete viszont más: az elsőben a 65°-os, a másodikban a 68°-os szöggel áll szemközt.
- A szinusztételből a második háromszög oldalainak aránya az elsőéhez:k = sin 65°sin 68° = 0,90630,9272 = 0,977
EredményA két háromszög nem egybevágó, csak hasonló: a második minden oldala 0,977-szerese az elsőének. Ha a 8 cm-es oldal mindkettőben ugyanazzal a szöggel állna szemközt, egybevágóak lennének.
Miért nem elég három szög?
Három egyenlő szög csak azt garantálja, hogy a két háromszög ugyanolyan alakú, a méretét nem rögzíti. Egy 60°-os szögekkel rendelkező szabályos háromszög lehet 2 cm-es és 20 cm-es oldalú is – a szögei ugyanazok. Ezért az AAA eset a hasonlóság alapesetei közé tartozik, nem az egybevágóságéhoz.
A bizonytalan eset: két oldal és a kisebbel szemközti szög
Ez a negyedik alapeset kényes fele. Ha a megadott szög a rövidebb oldallal áll szemközt, két különböző háromszög is megfelelhet az adatoknak – szerkesztéskor a körző két helyen metszi a szárat.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 10 cm, α = 35°
Hány háromszög felel meg ezeknek az adatoknak?
- A szinusztétellel keressük a β szöget:sin β = b · sin αa = 10 · 0,57367 = 0,8194
- Ennek két megoldása van 0° és 180° között:β1 = 55,02° vagy β2 = 124,98°
- Az első esetben a harmadik szög és oldal:γ1 = 89,98° → c1 = 12,2 cm
- A második esetben:γ2 = 20,02° → c2 = 4,18 cm
EredményKét különböző háromszög létezik ezekkel az adatokkal, tehát az adatok nem határozzák meg egyértelműen a háromszöget.
Ha viszont a szög a hosszabb oldallal áll szemközt, csak egy megoldás van, mert a nagyobb oldallal szemközti szög nagyobb, és két tompaszög nem fér el egy háromszögben. Ezért szerepel a negyedik alapesetben kifejezetten a „nagyobbik oldallal szemközti" kikötés.
Hogyan bizonyíts egybevágóságot?
A bizonyítás menete
- Párosítsd a csúcsokatÍrd fel, melyik csúcs melyiknek felel meg. A jelölés sorrendje számít: az ABC és DEF egybevágósága azt jelenti, hogy A a D-nek, B az E-nek, C az F-nek felel meg.
- Gyűjtsd össze az egyenlő adatokatNézd meg, mi adott: közös oldal, tükrözés miatti egyenlőség, párhuzamosokból adódó egyenlő szögek.
- Illeszd valamelyik alapesetreKeresd meg, hogy a három egyenlőség SSS, SAS, ASA vagy SSA szerkezetű-e. Ha igen, a bizonyítás kész.
- Írd le a következménytAz egybevágóságból a többi adat egyenlősége is következik – gyakran épp ez a feladat kérdése.
Gyors önellenőrzés
Egybevágó-e két háromszög, ha oldalaik 4, 6, 9 cm és 9, 4, 6 cm?
Elég-e két oldal és egy szög egyenlősége az egybevágósághoz?
Egy egyenlő szárú háromszöget az alap felezőpontjából induló magasság két részre vág. Egybevágó-e a két rész?
Gyakori kérdések
Mik a háromszög egybevágóságának alapesetei?
Négy van: (1) mindhárom oldal egyenlő; (2) két oldal és a közbezárt szög egyenlő; (3) egy oldal és két szög egyenlő; (4) két oldal és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő. Bármelyik teljesülése elég az egybevágóság kimondásához.
Miért nem alapeset a három egyenlő szög?
Mert a szögek csak az alakot rögzítik, a méretet nem. Három egyenlő szög esetén a két háromszög hasonló, de az egyik lehet tetszőlegesen nagyobb a másiknál.
Mit jelent az, hogy két háromszög egybevágó?
Azt, hogy mozgatással – eltolással, forgatással, esetleg tükrözéssel – pontosan fedésbe hozhatók. Ekkor minden megfelelő oldaluk és szögük egyenlő. Az egybevágóság jele ≅.
Mikor kétértelmű a két oldal és egy szög esete?
Ha a megadott szög a rövidebb oldallal áll szemközt. Például a = 7 cm, b = 10 cm és α = 35° adatokból két háromszög is szerkeszthető, mert a szinusztétel két szögmegoldást ad: 55,02°-ot és 124,98°-ot.
Ugyanaz-e az egybevágóság és a hasonlóság alapeseteinek szerkezete?
Igen, a négy eset szerkezete azonos. Az egybevágóságnál egyenlő oldalakat, a hasonlóságnál azonos arányú oldalakat követelünk meg; az egybevágóság a k = 1 arányú hasonlóság.