Tételek
A háromszög hasonlóságának alapesetei
A hasonlósághoz nem kell mind a hat adatot összevetni – három jól választott adat elég. Ez a négy eset mondja meg, melyik három.
Röviden a válasz
Két háromszög hasonló, ha a szögeik páronként egyenlők, és a megfelelő oldalaik aránya azonos. Ezt négy alapeset bármelyikével igazolhatod: ha mindhárom oldalpár aránya egyenlő; ha két oldalpár aránya egyenlő és a közbezárt szögük is; ha két szögük páronként egyenlő; vagy ha két oldalpár aránya egyenlő és a nagyobbik oldallal szemközti szögük egyenlő.
A gyakorlatban a legtöbbször a két egyenlő szög (AA) eset működik, mert a harmadik szög a 180°-os szögösszegből automatikusan adódik. A közös arányt hasonlósági aránynak hívjuk, jele k.
A négy alapeset
Az alapesetek szó szerint ugyanazok, mint az egybevágóságnál, csak az „egyenlő oldal" helyére mindenhol „azonos arányú oldal" kerül. Ez nem véletlen: az egybevágóság a hasonlóság speciális esete, amelyben k = 1.
| Jelölés | Feltétel | Mikor használd |
|---|---|---|
| SSS | Mindhárom oldalpár aránya egyenlő: a1a2 = b1b2 = c1c2 | Ha csak oldalhosszakat kaptál |
| SAS | Két oldalpár aránya egyenlő, és a közbezárt szögük egyenlő | Ha két oldal és a köztük lévő szög adott |
| AA | Két szögük páronként egyenlő | A leggyakoribb – párhuzamosok, közös szög esetén |
| SSA | Két oldalpár aránya egyenlő, és a nagyobbik oldallal szemközti szög egyenlő | Ritkább, de érettségin előfordul |
Első alapeset: mindhárom oldal aránya
Ha csak oldalhosszakat kapsz, rendezd mindkét háromszög oldalait nagyság szerint, és úgy párosítsd őket. A három hányadosnak ugyanazt a számot kell adnia.
Kidolgozott példa · ABC: 5, 7, 9 cm – DEF: 15, 21, 27 cm
Hasonló-e a két háromszög, és mekkora a hasonlósági arány?
- Párosítsuk a növekvő sorrendbe rendezett oldalakat, és képezzük a hányadosokat:155 = 3
- A másik két pár:217 = 3 és 279 = 3
- Mindhárom hányados egyenlő, tehát az SSS alapeset teljesül:k = 3
EredményA két háromszög hasonló, a hasonlósági arány k = 3. A DEF háromszög kerülete is háromszorosa: 21 cm helyett 63 cm.
Második alapeset: két oldal aránya és a közbezárt szög
Itt a szög helye számít: a két oldal által bezárt szögnek kell egyeznie, nem valamelyik másiknak. Ez ugyanaz a szigorúság, mint az egybevágóság SAS esetében.
Kidolgozott példa · ABC: 4 cm és 6 cm, közbezárt szög 48° – DEF: 10 cm és 15 cm, közbezárt szög 48°
Hasonló-e a két háromszög?
- A megfelelő oldalpárok aránya:104 = 2,5 és 156 = 2,5
- A két arány egyenlő, és a közbezárt szög mindkét háromszögben 48°, tehát az SAS alapeset teljesül.k = 2,5
EredményA háromszögek hasonlóak, k = 2,5. A hiányzó harmadik oldalak aránya is 2,5 lesz, külön számolás nélkül.
Harmadik alapeset: két egyenlő szög
Ez az eset a feladatok többségében előkerül, mert a szögegyenlőséget gyakran nem is kell mérni: párhuzamos oldalak vagy közös csúcs esetén magától adódik. Ha egy háromszögben párhuzamost húzol az egyik oldallal, a levágott kis háromszög egyállású szögei miatt automatikusan hasonló lesz az eredetihez.
A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele is ezen az alapeseten nyugszik: az átfogóhoz tartozó magasság két olyan háromszögre bontja az eredetit, amelyeknek két-két szöge megegyezik az eredetiével. Az így felírt arányokból jön ki a két tétel – lásd a háromszög tételek oldalt.
Negyedik alapeset: arány és a nagyobb oldallal szemközti szög
Ha a szög nem a két oldal között van, hanem az egyikkel szemközt, a feltétel csak akkor elegendő, ha ez a szög a hosszabbik oldallal néz szembe. A rövidebb oldallal szemközti szög ugyanis kétféle háromszöget is megengedne: egy hegyesszögűt és egy tompaszögűt.
Mit használhatsz, ha már tudod, hogy hasonlóak?
- A megfelelő oldalak aránya mind ugyanaz a k szám, így egyetlen hiányzó oldal egy szorzással megvan.
- A kerületek aránya is k, hiszen minden oldal k-szorosára nő.
- A területek aránya k2 – ez a leggyakoribb feladat a témában, a részleteket a háromszög arányszámítás oldal viszi végig.
- A megfelelő magasságok, súlyvonalak, szögfelezők és a körök sugarai szintén k arányban állnak.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög szögei 52° és 61°, egy másiké 61° és 67°. Hasonlóak?
Két háromszög oldalai 4, 6, 9 cm és 12, 18, 26 cm. Hasonlóak?
Miért hasonló minden szabályos háromszög egymáshoz?
Gyakori kérdések
Mik a háromszög hasonlóságának alapesetei?
Négy van: (1) mindhárom oldalpár aránya egyenlő; (2) két oldalpár aránya és a közbezárt szög egyenlő; (3) két szögük páronként egyenlő; (4) két oldalpár aránya egyenlő, és a nagyobbik oldallal szemközti szögük egyenlő.
Elég két egyenlő szög a hasonlósághoz?
Igen, ez a harmadik alapeset. Ha két szög páronként egyenlő, a harmadik is az lesz, mert a szögösszeg mindig 180°. Két háromszög szögei ilyenkor teljesen megegyeznek, csak a méretük tér el.
Mi a hasonlósági arány?
A megfelelő oldalak hányadosa, jele k. Ha például az egyik háromszög oldalai 5, 7, 9 cm, a másiké 15, 21, 27 cm, akkor k = 3. A kerületek aránya szintén k, a területeké k2.
Mi a különbség a hasonlóság és az egybevágóság alapesetei között?
A feltételek szerkezete azonos, de az egybevágóságnál az oldalaknak egyenlőknek kell lenniük, a hasonlóságnál csak azonos arányúaknak. Az egybevágóság a k = 1 hasonlósági arányú eset – lásd az egybevágóság alapesetei oldalt.
Hasonló-e két derékszögű háromszög, ha egy hegyesszögük egyenlő?
Igen. A derékszög közös, a megadott hegyesszög egyenlő, tehát két szög páronként megegyezik – ez már az AA alapeset. Ezen múlik az, hogy a szögfüggvények egyáltalán értelmesek: azonos szöghöz mindig ugyanaz az oldalarány tartozik.