Tételek
Háromszög hasonlóság
A hasonlóság a geometria legjobban megtérülő eszköze: egyetlen arányszámból az összes hiányzó oldal, a kerület és a terület is kijön.
Röviden a válasz
Két háromszög hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlők, és a megfelelő oldalaik aránya minden oldalpárra ugyanaz a szám. Ezt a közös arányt hívjuk arányszámnak (hasonlósági aránynak), jele λ: λ = a'a = b'b = c'c.
Ha λ megvan, minden más következik belőle: a kerület λ-szoros, a terület viszont λ2-szeres lesz. Két háromszögnél már két egyenlő szög is elég a hasonlósághoz.
Háromszög-kalkulátor a hasonlósághoz
Írd be az egyik háromszög adatait. A hasonló párja ugyanezekkel a szögekkel dolgozik, oldalai λ-szorosak, területe λ²-szeres.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mikor hasonló két háromszög?
A hasonlóság azt jelenti, hogy a két háromszög alakja azonos, csak a mérete más. Nagyítás vagy kicsinyítés viszi át az egyiket a másikba (esetleg elforgatva vagy tükrözve is). Ehhez két feltétel tartozik, és ezek együtt járnak:
- a megfelelő szögek egyenlők: α = α', β = β', γ = γ',
- a megfelelő oldalak aránya minden párra ugyanannyi.
A hasonlóság négy alapesete
Nem kell mind a hat adatot megnézni. Négy olyan adatcsomag van, amelyik önmagában eldönti a kérdést:
| Rövidítés | Feltétel | Példa |
|---|---|---|
| SS | Két szög egyenlő | α = α' és β = β' |
| OOO | Mindhárom oldal aránya azonos | a'a = b'b = c'c |
| OSO | Két oldal aránya azonos, és a közbezárt szögük egyenlő | a'a = b'b, γ = γ' |
| OOS | Két oldal aránya azonos, és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő | a'a = b'b, α = α' ha a > b |
A négy eset részletes indoklását és szerkesztéses példáit külön oldalon találod: háromszög hasonlóságának alapesetei. Az egybevágóság ugyanezekre az adatcsomagokra épül, csak ott arány helyett egyenlőség szerepel – lásd a háromszög egybevágóságának alapesetei oldalt.
Hiányzó oldal kiszámítása hasonlóságból
Ez a leggyakoribb feladattípus. A recept három lépés: párosítsd a megfelelő oldalakat, számold ki λ-t egy olyan oldalpárból, ahol mindkét adat ismert, majd szorozz.
Kidolgozott példa · Eredeti: 6, 9 és 12 cm – a képen a legrövidebb oldal 8 cm
Mekkora a hasonló háromszög másik két oldala és a kerülete?
- A legrövidebb oldal a legrövidebbnek felel meg, így az arányszám:λ = 86 = 43 ≈ 1,333
- A középső oldal:b' = 9 · 43 = 12 cm
- A leghosszabb oldal:c' = 12 · 43 = 16 cm
- A kerület ugyanennyiszeresére nő:K' = (6 + 9 + 12) · 43 = 27 · 43 = 36 cm
EredményA hasonló háromszög oldalai 8, 12 és 16 cm, kerülete 36 cm.
Kerület és terület: λ vagy λ²?
Ez a rész hozza a legtöbb elveszett pontot a dolgozatokban. A kerület hossz jellegű mennyiség, ezért egyszeresen skálázódik. A terület viszont két hossz szorzata, ezért négyzetesen.
| λ | Kerület | Terület |
|---|---|---|
| 0,5 (felezés) | a fele | a negyede |
| 1,5 | 1,5-szeres | 2,25-szörös |
| 2 (kétszerezés) | kétszeres | négyszeres |
| 3 | háromszoros | kilencszeres |
Kidolgozott példa · Két hasonló háromszög kerülete 24 cm és 36 cm
A kisebbik területe 20 cm². Mekkora a nagyobbiké?
- A kerületek aránya adja meg az arányszámot:λ = 3624 = 1,5
- A terület a négyzetével nő:λ2 = 1,52 = 2,25
- Innen a nagyobbik terület:T' = 20 · 2,25 = 45 cm2
EredményT' = 45 cm², nem 30 cm² – a terület nem a kerülettel arányos.
Hogyan bizonyítsd, hogy két háromszög hasonló?
A bizonyítás szinte mindig szögkeresés: elég két egyenlő szögpárt találni. A leggyakoribb forrásaik a párhuzamos egyenesek váltószögei és egyállású szögei, a csúcsszögek, valamint a közös szög, amit két háromszög osztozva használ.
A bizonyítás menete
- Nevezd meg pontosan a két háromszöget, a csúcsokat megfelelő sorrendben párosítva.
- Keress két egyenlő szögpárt (közös szög, csúcsszög, váltószög, egyállású szög).
- Hivatkozz az SS alapesetre – ezzel a hasonlóság kész.
- Írd fel az arányt a megfelelő oldalakkal, és fejezd ki a keresett hosszúságot.
Kidolgozott példa · Párhuzamos szelő: AD = 4 cm, DB = 6 cm, DE = 5 cm
A D pont az AB oldalon, az E pont az AC oldalon van, és a DE szakasz párhuzamos a BC oldallal. Mekkora a BC?
- Az ADE és az ABC háromszögnek közös az A csúcsnál lévő szöge, a párhuzamosság miatt pedig az ADE és az ABC szög egyállású, tehát egyenlő. Két egyenlő szög: a két háromszög hasonló.ADE ~ ABC
- Az arányszám az A-ból induló oldalakból:λ = ABAD = 4 + 64 = 2,5
- A megfelelő oldal a DE-nek a BC:BC = 5 · 2,5 = 12,5 cm
EredményBC = 12,5 cm.
Hol találkozol a hasonlósággal?
A hasonlóság nem külön téma, hanem eszköz. Ezek a leggyakoribb helyzetek, ahol előkerül:
- Középvonal: a háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakasz olyan háromszöget vág le, amely λ = 0,5 arányban hasonló az eredetihez – területe tehát a negyede.
- Párhuzamos szelők: ha egy oldallal párhuzamost húzol, a levágott kis háromszög hasonló a nagyhoz. Innen jön a háromszög arányosság összes képlete.
- Derékszögű háromszög tételei: az átfogóhoz tartozó magasság két, az eredetihez hasonló háromszögre bontja az alakzatot – ebből következik a magasságtétel és a befogótétel is.
- Mérés a valóságban: magas fa vagy torony magassága árnyékból, folyó szélessége a partról.
Kidolgozott példa · Fa magassága árnyékból
Egy 1,5 m-es bot árnyéka 2 m, ugyanekkor a fa árnyéka 18 m. Milyen magas a fa?
- A napsugarak párhuzamosak, ezért a bot és a fa árnyéka két hasonló derékszögű háromszöget ad. Az arányszám az árnyékokból:λ = 182 = 9
- A fa magassága a bot magasságának λ-szorosa:m = 1,5 · 9 = 13,5 m
EredményA fa 13,5 m magas.
Ugyanezt felírhatod arányként is: m1,5 = 182. A két alak ugyanaz, csak más sorrendben szorzol – a részletes arányszámításról a háromszög arányszámítás oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Két háromszög szögei 40°, 60° és 80°, illetve 60°, 80° és 40°. Hasonlók?
Egy háromszög oldalai 4, 6 és 8 cm, egy másiké 6, 9 és 12 cm. Hasonlók?
Egy háromszög minden oldalát megháromszorozzuk. Hányszorosára nő a területe?
Két hasonló háromszög területe 12 cm² és 48 cm². Mekkora az arányszám?
Gyakori kérdések
Mikor hasonló két háromszög?
Akkor, ha megfelelő szögeik egyenlők, és megfelelő oldalaik aránya minden párra ugyanaz. Háromszögeknél a két feltétel egyenértékű, ezért elég az egyiket igazolni – a gyakorlatban legtöbbször két egyenlő szöget keresünk.
Mik a háromszög hasonlóságának alapesetei?
Négy van: két szög egyenlő (SS); mindhárom oldalpár aránya azonos (OOO); két oldalpár aránya azonos és a közbezárt szög egyenlő (OSO); két oldalpár aránya azonos és a nagyobbikkal szemközti szög egyenlő (OOS).
Mi a különbség a hasonlóság és az egybevágóság között?
Az egybevágóság a hasonlóság speciális esete, amikor az arányszám λ = 1. Egybevágó háromszögek oldalai is egyenlők, hasonlóknál csak az arányuk állandó.
Hogyan számolom ki a hiányzó oldalt hasonlóságból?
Keress egy olyan oldalpárt, ahol mindkét adat ismert, oszd el a képbeli oldalt az eredetivel – ez λ. Ezután a keresett oldalt az eredeti párjának λ-szorosaként kapod meg.
Hányszorosára nő a terület, ha az oldalak kétszeresek?
Négyszeresére. A terület az arányszám négyzetével változik, tehát λ = 2 esetén λ2 = 4. A kerület ilyenkor csak kétszeres lesz.
Két egyenlő szög tényleg elég a hasonlósághoz?
Igen. A belső szögek összege minden háromszögben 180°, így ha kettő megegyezik, a harmadik is kényszerűen egyenlő – a három egyenlő szög pedig már azonos alakot jelent.