Tételek
Egybevágó háromszögek
Az egybevágóság nem azt jelenti, hogy a két háromszög ugyanúgy áll a papíron. Elforgatva, eltolva, sőt tükrözve is egybevágó marad – csak a mérete és az alakja számít.
Röviden a válasz
Két háromszög egybevágó, ha egybevágósági transzformációkkal – eltolással, forgatással, tükrözéssel vagy ezek egymásutánjával – pontosan fedésbe hozható egymással. Ez pontosan akkor teljesül, ha a megfelelő oldalaik és a megfelelő szögeik páronként egyenlők. Jelölése: ABC ≅ DEF.
A jelölés sorrendje információt hordoz: az ABC ≅ DEF azt mondja, hogy A-nak D, B-nek E, C-nek F felel meg, tehát AB = DE, BC = EF és CA = FD. Az egybevágóság akkor is fennáll, ha az egyik háromszög a másik tükörképe – az ilyet nevezik ellentétes körüljárású vagy tükrös egybevágóságnak.
Az egybevágó háromszög fogalma
A szemléletes definíció: kivágod az egyiket, ráteszed a másikra, és fedik egymást. A matematikai megfogalmazás ugyanez precízen: létezik olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyik háromszöget a másikba viszi. Ebből következik minden más:
- a megfelelő oldalak egyenlők,
- a megfelelő szögek egyenlők,
- egyenlő a kerületük és a területük,
- egyenlő a megfelelő magasságuk, súlyvonaluk, szögfelezőjük, sőt a beírt és a körülírt körük sugara is.
Ne keverd össze a hasonlósággal sem. A hasonló háromszögek alakja egyezik, mérete nem; az egybevágóknál mindkettő. Az egybevágóság a hasonlóság speciális esete, ahol a hasonlósági arány pontosan k = 1.
Egybevágósági transzformációk
Négy alapmozgatás van, és minden egybevágóság ezek kombinációja. Az első három megőrzi a körüljárási irányt, a tükrözés viszont megfordítja.
| Transzformáció | Mit csinál | Körüljárás |
|---|---|---|
| Eltolás | A háromszög minden pontját ugyanannyival mozgatja | Megmarad |
| Forgatás | Egy pont körül elfordítja | Megmarad |
| Középpontos tükrözés | Egy pontra tükrözi (180°-os forgatás) | Megmarad |
| Tengelyes tükrözés | Egy egyenesre tükrözi | Megfordul |
Ezért lehet, hogy két egybevágó háromszög „nem akar" egymásra illeszkedni csúsztatással: ha az egyik a másik tükörképe, előbb meg kell fordítani. A papírkivágást csak fel kell emelni és a másik oldalára fordítani – a fedés utána tökéletes.
Koordinátás példa: tükrös egybevágóság
Kidolgozott példa · A(1; 2), B(13; 2), C(1; 7) és D(20; 2), E(8; 2), F(20; 7)
Egybevágó-e a két háromszög?
- Az első háromszög oldalai. Az AB vízszintes:AB = 13 − 1 = 12
- Az AC függőleges:AC = 7 − 2 = 5
- A BC Pitagorasz-tétellel:BC = √122 + 52 = √169 = 13
- A második háromszögben ugyanígy:DE = 20 − 8 = 12, DF = 7 − 2 = 5, EF = √144 + 25 = 13
- Mindhárom oldalpár egyenlő, tehát az SSS alapeset teljesül.
EredményA két háromszög egybevágó: ABC ≅ DEF. Mivel az egyik a másik tükörképe (a betűzésük ellentétes irányú), ez tükrös egybevágóság.
Hol találkozol egybevágó háromszögekkel?
- Az egyenlő szárú háromszöget a szimmetriatengelye két egybevágó derékszögű háromszögre bontja – ebből következik, hogy az alapon fekvő szögek egyenlők.
- A paralelogrammát bármelyik átlója két egybevágó háromszögre vágja.
- A középvonalak a háromszöget négy egybevágó kis háromszögre osztják.
- Szerkesztési feladatokban az egybevágóság bizonyítja, hogy a szerkesztés egyértelmű, vagyis nincs másik megoldás.
Ahhoz, hogy két háromszögről bebizonyítsd az egybevágóságot, nem kell mind a hat adatot összevetni: három jól választott adat elég. Ezt írja le a háromszög egybevágóságának alapesetei oldal.
Gyors önellenőrzés
Egybevágó-e egy háromszög és a tengelyes tükörképe?
Két háromszög területe egyaránt 30 cm². Egybevágóak?
Mit jelent az, hogy ABC ≅ DEF?
Gyakori kérdések
Mi az egybevágó háromszög fogalma?
Két háromszög egybevágó, ha eltolással, forgatással vagy tükrözéssel pontosan fedésbe hozható egymással. Ez azzal egyenértékű, hogy a megfelelő oldalaik és szögeik páronként egyenlők.
Egybevágó-e két tükrös háromszög?
Igen. A tengelyes tükrözés egybevágósági transzformáció, tehát a tükörkép egybevágó az eredetivel. Csak a körüljárási irány fordul meg – ezt nevezik ellentétes körüljárású vagy tükrös egybevágóságnak.
Mi a különbség az egybevágóság és a hasonlóság között?
A hasonló háromszögek alakja egyezik, a méretük nem; az egybevágóknál a méret is. Az egybevágóság a k = 1 hasonlósági arányú eset, tehát minden egybevágó háromszög hasonló is, fordítva viszont nem igaz.
Elég-e az egyenlő terület az egybevágósághoz?
Nem. A területből semmi nem következik az alakra: egy nyújtott és egy zömök háromszög területe könnyen lehet ugyanannyi. Ugyanez igaz a kerületre is.
Hogyan jelöljük az egybevágóságot?
A ≅ jellel: ABC ≅ DEF. A csúcsok sorrendje a megfeleltetést adja meg, ezért nem mindegy, milyen betűzéssel írod fel.