Szerkesztés
Háromszög elforgatása 60 fokkal
A 60° a forgatások közül a legkényelmesebb: szögmérő nélkül, pusztán a körzőnyílással kimérhető, mert a kör sugara egyenlő a 60°-os középponti szöghöz tartozó húrral.
Röviden a válasz
Forgasd el a háromszög mindhárom csúcsát külön-külön a forgásközéppont körül 60°-kal, ugyanabba az irányba, majd kösd össze a kapott A′, B′, C′ pontokat. A kép egybevágó az eredetivel: minden oldala és szöge változatlan, csak elfordul.
A 60°-os szöget nem kell szögmérővel kimérni. Rajzolj a középpont körül az OA sugarú kört, majd erre a körre mérd fel körzővel ugyanezt a sugarat A-tól kezdve: az így kapott pont pontosan 60°-kal odébb van.
Mit jelent 60 fokkal elforgatni?
Az elforgatáshoz két adat kell: a forgásközéppont (O) és a forgásszög (itt 60°). Minden pont az O körüli saját körén mozdul el 60°-nyit, tehát a középponttól mért távolsága nem változik: OA = OA′, OB = OB′, OC = OC′.
Az irány számít. Megállapodás szerint a pozitív irány az óramutató járásával ellentétes; ha a feladat -60°-ot ír, akkor az óramutató járásával megegyezően forgatsz. A két kép nem esik egybe, ezért a vázlatrajzon jelöld nyíllal, merre forgatsz.
Miért épp a 60° megy körzővel?
Ha egy körre felméred a saját sugarát, a kapott húr a középponttal szabályos háromszöget alkot: két oldala sugár, a harmadik ugyanakkora. A szabályos háromszög minden szöge 60°, tehát a húrhoz tartozó középponti szög is pontosan 60°. Ez az a trükk, ami miatt a sugár hatszor fér rá a körre – és amiért 60°-nál nincs szükség szögmérőre.
A háromszög elforgatása 60°-kal – szerkesztés
- Jelöld ki a forgásközéppontot (O), és kösd össze a háromszög mindhárom csúcsával.
- Az első csúcs képeKörzőnyílás = OA. Rajzolj O középpontú kört az A ponton át. Ugyanezzel a nyílással szúrj A-ba, és metszd el a kört: a metszéspont az A′, mert az OAA′ háromszög szabályos, tehát a szög 60°.
- Ellenőrizd az iránytA körnek két metszéspontja lesz az A körüli körívvel: az egyik a pozitív, a másik a negatív irányba esik. Azt válaszd, amelyik a feladat által kért irányban van.
- A többi csúcs képeAz A′ segítségével már nem kell újra mérni: a B és a C pont képe úgy kapható, hogy az OB, illetve OC sugarú körre felméred ugyanazt a 60°-os szöget – például szögmásolással az AOA′ szögről.
- Kösd össze az A′, B′, C′ pontokat: ez a háromszög képe.
- Ellenőrzés: mérd le az oldalakat. Az eredeti és a kép megfelelő oldalainak milliméterre egyezniük kell.
Elforgatás 60°-kal koordináta-rendszerben
Ha koordinátákkal dolgozol, és a forgásközéppont az origó, a 60°-os elforgatás képlete a cos 60° = 0,5 és a sin 60° = 0,866 értékekkel egyszerű behelyettesítés lesz.
Kidolgozott példa · A(0; 0), B(6; 0), C(0; 4) elforgatása 60°-kal
A forgásközéppont az A csúcs, vagyis az origó. Hol lesznek a képpontok?
- Az A pont maga a középpont, ezért helyben marad:A' (0 ; 0)
- A B(6; 0) pont képe:x' = 6 · 0,5 − 0 · 0,866 = 3
- és a második koordináta:y' = 6 · 0,866 + 0 · 0,5 = 5,196
- A C(0; 4) pont képe:x' = 0 · 0,5 − 4 · 0,866 = -3,464
- és a második koordináta:y' = 0 · 0,866 + 4 · 0,5 = 2
- Ellenőrzés: a BC oldal hossza az eredetiben és a képben isBC = √62 + 42 = 7,21
EredményA′(0; 0), B′(3; 5,196), C′(-3,464; 2) – az oldalak hossza változatlan.
Mi lesz a szabályos háromszögből?
Sokan azt hiszik, hogy a szabályos háromszög 60°-os elforgatás után önmagába megy át. Nem így van: a középpontja körüli 120°-os forgatás viszi önmagába, mert a három csúcs 360°-on osztozik. A 60°-os forgatás elfordítja, és az eredetivel együtt hatágú csillagot ad ki.
| Forgásszög | Mi történik | Fedi önmagát? |
|---|---|---|
| 60° | A csúcsok az oldalfelező irányokba kerülnek, hatágú csillag rajzolódik ki | nem |
| 120° | Minden csúcs a következő csúcs helyére kerül | igen |
| 180° | A háromszög „fejre áll" | nem |
| 240° | Két csúcsnyi elfordulás | igen |
| 360° | Teljes fordulat, minden pont a helyére kerül | igen |
Az egyenlő oldalú háromszögnek tehát három olyan forgatása van (120°, 240°, 360°), amely önmagába viszi – ezt hívjuk harmadrendű forgásszimmetriának.
Gyors önellenőrzés
Hányszor kell 60°-kal elforgatni egy pontot, hogy visszakerüljön a kiindulási helyére?
A P(2; 0) pontot elforgatjuk az origó körül 60°-kal. Mik a képpont koordinátái?
Változik-e a háromszög területe 60°-os elforgatás után?
Gyakori kérdések
Hogyan forgatok el egy háromszöget 60 fokkal körzővel?
Rajzolj a forgásközéppont köré akkora kört, amely átmegy a csúcson, majd ugyanazzal a körzőnyílással a csúcsból metszd el a kört. A metszéspont pontosan 60°-kal van odébb, mert a sugárral egyenlő húr 60°-os középponti szöget zár be.
Melyik a pozitív forgásirány?
Az óramutató járásával ellentétes irány a pozitív. Ha a feladat -60°-ot kér, az óramutató járásával megegyezően forgass. A két képháromszög különböző helyre kerül, ezért az irányt mindig jelöld.
Elforgatás után önmagába megy át a szabályos háromszög?
60°-nál nem. A szabályos háromszöget a súlypontja körüli 120°-os (vagy 240°-os) forgatás viszi önmagába, mert három csúcsa egyenletesen osztja fel a 360°-ot.
Változik a háromszög mérete elforgatáskor?
Nem. Az oldalak hossza, a szögek nagysága, a kerület és a terület is ugyanaz marad – az elforgatás csak a helyzetet változtatja meg.
Mi a 60°-os elforgatás képlete koordinátákkal?
Origó körüli pozitív forgatásnál x′ = 0,5x − 0,866y és y′ = 0,866x + 0,5y, mert cos 60° = 0,5 és sin 60° ≈ 0,866.