Szerkesztés
Háromszög tengelyes tükrözése
Egy háromszöget mindig csak három pont tükrözésével kell megrajzolni – az oldalak maguktól a helyükre kerülnek. A kérdés csak az, hogyan találod meg pontosan a képpontokat.
Röviden a válasz
A háromszöget csúcsonként tükrözöd: mindhárom csúcsból merőlegest állítasz a tengelyre, és a merőlegesen ugyanakkora távolságot mérsz át a tengely túloldalára. A három képpontot összekötve megkapod a tükörképet.
A tükörkép egybevágó az eredetivel: minden oldal és minden szög változatlan. Egyetlen dolog fordul meg, a körüljárási irány – ezért is nevezzük a tengelyes tükrözést irányításváltó egybevágóságnak.
Egy pont tükörképének szerkesztése
A tükrözés szabálya egy pontra ez: az A pont és az A′ képe a tengelyre merőleges egyenesen van, és a tengelytől ugyanolyan messze. Ha a pont rajta van a tengelyen, akkor a képe önmaga – ezeket hívjuk fixpontoknak.
Az A csúcs tükrözése a t tengelyre
- Metssz ki két pontot a tengelyenSzúrd a körzőt A-ba, és rajzolj olyan sugarú kört, amely a t tengelyt két pontban metszi. Legyen ez a két pont P és Q.
- Rajzolj ívet P és Q körülUgyanakkora sugárral rajzolj ívet P és Q körül a tengely másik oldalán. Az ívek metszéspontja az A′ képpont.
- EllenőrizdAz AA′ szakasznak merőlegesnek kell lennie a tengelyre, és a tengelynek feleznie kell azt.
- Ismételd meg a másik két csúcsraA B′ és C′ pont ugyanígy adódik. Végül kösd össze a három képpontot – ez a tükörkép háromszög.
Mi marad meg, és mi változik?
| Tulajdonság | Mi történik vele? |
|---|---|
| Oldalak hossza | Nem változik – a tükörkép egybevágó. |
| Szögek nagysága | Nem változik. |
| Terület és kerület | Nem változik. |
| Körüljárási irány | Megfordul (az óramutatóval egyező irányból ellentétes lesz). |
| A tengelyen lévő pontok | Helyben maradnak, ezek a fixpontok. |
| A tengelyre merőleges egyenesek | Önmagukba mennek át. |
Tükrözés a koordináta-rendszerben
Ha a háromszög csúcsai koordinátákkal adottak, és a tengely az egyik koordinátatengely, akkor nem is kell szerkeszteni: elég előjelet váltani. Az x tengelyre tükrözve a második koordináta vált előjelet, az y tengelyre tükrözve az első.
Kidolgozott példa · A(2; 1), B(6; 4), C(3; 5) tükrözése az x tengelyre
Add meg a képháromszög csúcsait, és ellenőrizd, hogy tényleg egybevágó-e!
- Minden csúcs második koordinátája előjelet vált:A′(2; -1), B′(6; -4), C′(3; -5)
- Az eredeti AB oldal hossza:AB = √(6-2)2 + (4-1)2 = √16 + 9 = 5
- A képének hossza:A′B′ = √(6-2)2 + (-4+1)2 = √16 + 9 = 5
- A két hossz megegyezik, tehát a tükörkép valóban egybevágó. Az A → B → C körüljárás viszont az eredetin balra fordul, a képen jobbra.AB = A′B′ = 5 egység
EredményA tükörkép csúcsai: A′(2; -1), B′(6; -4), C′(3; -5).
Amikor a háromszögnek magának van szimmetriatengelye
Egy háromszög akkor tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan tengely, amelyre tükrözve önmagába megy át. Ez pontosan az egyenlő szárú háromszögeknél fordul elő: a tengely az alap szakaszfelező merőlegese, amely egyben az alaphoz tartozó magasságvonal és a szárszög szögfelezője is. A szabályos háromszögnek három ilyen tengelye van.
A tükrözés részletes, körzős lépéseit a háromszög tengelyes tükrözése körzővel oldalon nézheted meg, a szimmetrikus háromszögekről pedig a tengelyesen szimmetrikus háromszög oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Mi lesz a P(-3; 7) pont képe, ha az y tengelyre tükrözöd?
Mekkora a tükörkép háromszög területe, ha az eredetié 24 cm²?
Mi történik azzal a csúccsal, amelyik rajta van a tengelyen?
Gyakori kérdések
Hogyan kell háromszöget tengelyesen tükrözni?
Csúcsonként: mindhárom csúcsból merőlegest állítasz a tengelyre, és a merőlegesen ugyanakkora távolságot mérsz át a tengely másik oldalára. A három képpont összekötése adja a tükörképet.
Egybevágó-e a tükörkép az eredeti háromszöggel?
Igen, minden oldal, szög, a kerület és a terület is ugyanaz marad. Csak a körüljárási irány fordul meg.
Hogyan tükrözök háromszöget a koordináta-rendszerben?
Az x tengelyre tükrözve (x; y) → (x; -y), az y tengelyre tükrözve (x; y) → (-x; y). Elég a három csúcsra alkalmazni, majd összekötni a képpontokat.
Mi van, ha a tengely metszi a háromszöget?
Semmi különös: a szabály minden csúcsra külön érvényes. A tengely két oldalán lévő csúcsok képe egymás felőli oldalra kerül, így az eredeti és a kép átfedik egymást.
Melyik háromszögnek van szimmetriatengelye?
Az egyenlő szárúnak egy (az alap szakaszfelező merőlegese), a szabályosnak három. Az általános háromszögnek nincs tengelyes szimmetriája.