Háromszögfajták
Szabályos háromszög
Ez az egyetlen háromszög, amit egyetlen szám teljesen meghatároz. Ha tudod az oldalát, a többi hét adata már egy-egy szorzás – itt egyben megkapod mindet.
Röviden a válasz
A szabályos háromszög mind a három oldala egyenlő, ezért mind a három szöge 60°. Más néven egyenlő oldalú háromszög. Egyetlen adatból az összes többi kiszámolható: kerülete K = 3a, magassága m = a · √32, területe T = a2 · √34.
Külön érdekessége, hogy a nevezetes pontjai – a súlypont, a magasságpont, a beírt és a körülírt kör középpontja – mind egybeesnek. Emiatt a körülírt kör sugara R = a√3, a beírt köré pedig ennek pontosan a fele.
Szabályos háromszög kalkulátor
Elég egyetlen adat – oldal, magasság, kerület vagy terület –, a többit kiszámoljuk.
Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.
- a oldal
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mitől szabályos egy háromszög?
Két feltétel közül elég az egyik: ha mind a három oldala egyenlő, akkor a szögei is egyenlők, és fordítva. Mivel a belső szögek összege 180°, három egyenlő szög csak 60°-os lehet. A többi típussal együtt a háromszög fajtái oldalon látod, hova illeszkedik a sorban.
- Mind a három oldala egyenlő hosszú, ezért egyenlő szárú is – mégpedig bármelyik oldalát választhatod alapnak.
- Mind a három szöge 60°, ezért mindig hegyesszögű: szabályos háromszög soha nem lehet derékszögű vagy tompaszögű.
- Három szimmetriatengelye van, és 120°-os elforgatással önmagába vihető.
- A magasság, a súlyvonal, a szögfelező és az oldalfelező merőleges ugyanaz a szakasz – ez a többi háromszögnél nincs így.
A szabályos háromszög összes adata
A táblázat minden sora ugyanabból az a oldalból indul. A jobb oldali oszlopban az látszik, hogy az adott mennyiség hányszorosa az oldalnak – ezekkel fejben is tudsz becsülni.
| Mennyiség | Képlet | Az oldal hányszorosa |
|---|---|---|
| Kerület | K = 3a | 3 |
| Magasság | m = a · √32 | 0,866 |
| Terület | T = a2 · √34 | 0,433 · a |
| Körülírt kör sugara | R = a√3 = a · √33 | 0,577 |
| Beírt kör sugara | r = a2 · √3 = a · √36 | 0,289 |
| Egy belső szög | 60° | – |
Kidolgozott példa: 8 cm oldalú szabályos háromszög
Kidolgozott példa · a = 8 cm
Számold ki a kerületét, a magasságát, a területét, valamint a beírt és a körülírt kör sugarát!
- Kerület – a legegyszerűbb:K = 3 · 8 = 24 cm
- Magasság a félháromszögből:m = 8 · √32 = 4 · √3 = 6,93 cm
- Terület a kész képlettel (így nem halmozódik a kerekítés):T = 82 · √34 = 64 · 1,7324 = 27,71 cm2
- Körülírt kör sugara a magasság kétharmada:R = 2 · 6,933 = 4,62 cm
- A beírt kör sugara ennek a fele:r = 6,933 = 2,31 cm
EredményK = 24 cm, m = 6,93 cm, T = 27,71 cm², R = 4,62 cm, r = 2,31 cm
Számolás visszafelé: körből a háromszögbe
Feladatokban gyakran nem az oldal az adott. Ha egy kör köré vagy egy körbe kell szabályos háromszöget illeszteni, a sugárból indulj: az oldal a = R · √3, illetve a = 2 · r · √3.
Kidolgozott példa · R = 5 cm sugarú körbe írt szabályos háromszög
Mekkora az oldala, a magassága és a területe?
- Az oldal a körülírt kör sugarából:a = R · √3 = 5 · 1,732 = 8,66 cm
- A magasság a sugár másfélszerese, mert R = 2 · m3:m = 3 · 52 = 7,5 cm
- A terület az oldalból és a magasságból:T = 8,66 · 7,52 = 32,48 cm2
Eredménya = 8,66 cm, m = 7,5 cm, T = 32,48 cm²
A részletes levezetéseket és a további feladattípusokat külön oldalakon találod: szabályos háromszög területe, szabályos háromszög magassága, szabályos háromszög kerülete. Ha rajzolnod kell, a szabályos háromszög szerkesztése körzővel, mérés nélkül megy.
Gyors önellenőrzés
Egy szabályos háromszög kerülete 33 cm. Mekkora az oldala és a magassága?
Miért nem lehet szabályos háromszög derékszögű?
Ha megduplázod a szabályos háromszög oldalát, hányszorosára nő a területe?
Gyakori kérdések
Mi a szabályos háromszög területének képlete?
T = a2 · √34, ami számmal kb. 0,433 · a2. Egy 8 cm oldalú szabályos háromszög területe például 27,71 cm².
Hogyan számolom ki a szabályos háromszög magasságát?
A magasság az oldal √3-szorosának a fele: m = a · √32, vagyis az oldal 0,866-szorosa. A képlet a félháromszögre felírt Pitagorasz-tételből jön.
Mennyi a szabályos háromszög kerülete?
A kerület az oldal háromszorosa: K = 3a. Visszafelé is működik: ha a kerület adott, az oldal a = K3, és onnan minden más adat számolható.
Ugyanaz a szabályos és az egyenlő oldalú háromszög?
Igen, ez a két név ugyanazt jelenti. A tankönyvekben a „szabályos", a köznyelvben gyakrabban az „egyenlő oldalú" alak fordul elő. Mindkettő egyenlő szárú háromszög is egyben.
Mekkorák a szabályos háromszög szögei?
Mind a három 60°. Ez abból következik, hogy a belső szögek összege 180°, és a három egyenlő oldalhoz egyenlő szögek tartoznak: 180° : 3 = 60°.
Mekkora a szabályos háromszög köré és bele írható kör sugara?
A körülírt köré R = a√3 ≈ 0,577 · a, a beírt köré pontosan ennek a fele: r ≈ 0,289 · a. Mindkét kör középpontja a súlypont.