Szerkesztés
Tengelyes tükrözés – háromszög
A tükörkép egybevágó az eredetivel, de a körüljárási iránya megfordul. Ez a különbség adja a tengelyes tükrözés összes érdekes tulajdonságát.
Röviden a válasz
A háromszög tengelyes tükörképe egybevágó az eredetivel: az oldalak hossza, a szögek nagysága, a kerület és a terület is változatlan marad. Egyetlen dolog fordul meg: a csúcsok körüljárási iránya.
A tengely minden csúcs és képe közötti szakasznak a felező merőlegese. Ha egy csúcs rajta van a tengelyen, az a pont a helyén marad – ezeket hívjuk fixpontoknak.
Mi marad ugyanaz, és mi változik?
A tengelyes tükrözés egybevágósági transzformáció, ezért a háromszög „mérhető" adatai közül semmi nem változik. A kép mégsem tolható rá csúsztatással az eredetire – ehhez ki kellene emelni a papír síkjából.
| Adat | Változik? | Miért |
|---|---|---|
| Oldalak hossza | nem | A tükrözés távolságtartó: AB = A′B′. |
| Szögek nagysága | nem | A tükrözés szögtartó, csak az irányításuk fordul meg. |
| Kerület, terület | nem | Az oldalakból és szögekből számolódik, azok pedig változatlanok. |
| Körüljárási irány | igen | Ami az eredetin A → B → C irányban óramutató szerinti, a képen ellentétes lesz. |
| A csúcsok helye | igen | Kivéve a tengelyre eső csúcsokat: azok fixpontok. |
Hol van a tengely a háromszöghöz képest?
Háromféle helyzet fordulhat elő, és a feladatok mindhármat kérik:
- A tengely nem metszi a háromszöget: a kép teljes egészében a tengely másik oldalára kerül, és nem fedi az eredetit.
- A tengely átmegy egy csúcson: az a csúcs a helyén marad, a másik kettő átfordul. A két háromszög egy csúcsban érintkezik.
- A tengely metszi a háromszöget: a kép átfed az eredetivel, és együtt egy tengelyesen szimmetrikus alakzatot adnak ki.
Külön eset, amikor a tengely a háromszög saját szimmetriatengelye. Ilyenkor a kép pontosan az eredetire esik: a háromszög önmagába megy át. Ez csak egyenlő szárú (és szabályos) háromszögnél lehetséges – erről a tükrös háromszög szerkesztése oldalon olvashatsz.
Tükrözés koordináta-rendszerben
Ha a tengely az x tengely, a tükrözés annyi, hogy minden pont második koordinátájának előjelet váltasz: P(x; y) → P′(x; -y). Az y tengelyre tükrözésnél az első koordinátáé vált előjelet.
Kidolgozott példa · A(2; 1), B(6; 3), C(3; 5) tükrözése az x tengelyre
Add meg a képháromszög csúcsait, és igazold, hogy a terület nem változott!
- Minden pont második koordinátája előjelet vált:A'(2 ; -1), B'(6 ; -3), C'(3 ; -5)
- Az eredeti háromszög területe a koordinátákból:T = |2(3-5) + 6(5-1) + 3(1-3)|2
- Kiszámolva a zárójeleket:T = |-4 + 24 − 6|2 = 142 = 7
- A képháromszögre ugyanez:T' = |2(-3+5) + 6(-5+1) + 3(-1+3)|2 = |4 − 24 + 6|2 = 7
- Az A pont és a képe közötti szakasz hossza, vagyis a tengelytől mért távolság kétszerese:AA' = 1 + 1 = 2 egység
EredményA képháromszög csúcsai A′(2; -1), B′(6; -3), C′(3; -5), a terület mindkettőnél 7 területegység.
Hogyan kapod meg a képet szerkesztéssel?
A tükrözés menete röviden
- Az A csúcsból húzz merőlegest a tengelyre, és jelöld meg a talppontot.
- Mérd fel körzővel a csúcs és a talppont távolságát a tengely másik oldalára ugyanezen a merőlegesen: ez az A′.
- Ismételd meg a B és a C csúccsal.
- Kösd össze a képpontokat: A′B′C′ a keresett tükörkép.
- Ellenőrzés: mérd le az oldalakat – az eredetivel milliméterre egyezniük kell.
A merőlegest és a távolságot körzővel is kimérheted, szögvonalzó nélkül. A körzős változat teljes menetét a háromszög tengelyes tükrözése körzővel oldalon lépésről lépésre leírjuk.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög területe 12 cm². Mekkora a tükörképének a területe?
A P(-3; 4) pontot tükrözzük az y tengelyre. Hol lesz a képe?
Mikor esik egybe a háromszög a tükörképével?
Gyakori kérdések
Mi történik a háromszöggel tengelyes tükrözéskor?
A képe egybevágó lesz vele: az oldalak, a szögek, a kerület és a terület sem változik. Egyedül a körüljárási irány fordul meg, és a csúcsok átkerülnek a tengely másik oldalára.
Változik-e a terület tengelyes tükrözéskor?
Nem. A tükrözés távolságtartó, ezért minden oldal hossza megmarad, és velük együtt a terület és a kerület is.
Mi a fixpont a tengelyes tükrözésnél?
Minden olyan pont, amely a tengelyen van – ezek a helyükön maradnak. Ha egy háromszög csúcsa a tengelyre esik, akkor a képháromszögnek is ez lesz a csúcsa.
Milyen kapcsolat van a tengely és a pont-képpont szakasz között?
A tengely a szakasz felező merőlegese: merőleges rá, és éppen a felezőpontjában metszi. Ezt használod a szerkesztésnél és az ellenőrzésnél is.
Hogyan tükrözök háromszöget koordináta-rendszerben?
Az x tengelyre tükrözésnél a második koordináta vált előjelet: (x; y) → (x; -y). Az y tengelyre tükrözésnél az első: (x; y) → (-x; y).