Területszámítás
Háromszög kerülete és területe
A kerület hosszúság, a terület felület. Ez az oldal a kettőt egymás mellett mutatja: mikor melyik kell, és miért nem lehet az egyikből a másikat kiszámolni.
Röviden a válasz
A háromszög kerülete a három oldal összege: K = a + b + c. A területe egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele: T = a · ma2.
A kerület mértékegysége cm vagy m, a területé cm² vagy m². Egy 9, 40 és 41 cm oldalú háromszögnél K = 90 cm, a területe pedig T = 180 cm².
Kerület és terület egyszerre
Írd be a három oldalt – a kerület, a terület és a magasságok is megjelennek.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A két fogalom nem ugyanaz
A kerület az, amit körbejársz: a háromszög szélének a hossza. A terület az, amit befestesz: a háromszög belsejének a nagysága. Ezért más a mértékegységük is – a kerület egyszeres, a terület négyzetes egységben mérendő.
| Kerület | Terület | |
|---|---|---|
| Jele | K | T |
| Képlete | K = a + b + c | T = a · ma2 |
| Mit mér | a határvonal hosszát | a bezárt felület nagyságát |
| Mértékegysége | cm, m | cm², m² |
| Mihez kell | kerítés, szegély, keret | festék, fű, burkolat |
Mindkettő ugyanabból az adatból
Kidolgozott példa · a = 9 cm, b = 40 cm, c = 41 cm
Számítsd ki a kerületet és a területet is!
- A kerület a három oldal összege:K = 9 + 40 + 41 = 90 cm
- A félkerület:s = 902 = 45 cm
- Héron-képlet:T = √45 · 36 · 5 · 4 = √32400
- A gyökvonás:T = 180 cm2
- Ellenőrzés: a háromszög derékszögű, mert 92 + 402 = 412, tehátT = 9 · 402 = 180 cm2
EredményK = 90 cm, T = 180 cm²
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú: alap 20 cm, szár 26 cm
Mekkora a kerület és a terület?
- A kerületben a szár kétszer szerepel:K = 20 + 2 · 26 = 72 cm
- A magasság a fél alapból és a szárból:m = √262 − 102 = √676 − 100 = 24 cm
- A terület:T = 20 · 242 = 240 cm2
EredményK = 72 cm, T = 240 cm²
Miért nem következik egyik a másikból?
Gyakori félreértés, hogy nagyobb kerülethez nagyobb terület tartozik. Ez nem igaz: ugyanakkora kerülethez rengeteg különböző terület tartozhat, attól függően, mennyire „lapos" a háromszög.
| Oldalak (cm) | Kerület (cm) | Terület (cm²) |
|---|---|---|
| 8, 8, 8 | 24 | 27,71 |
| 5, 9, 10 | 24 | 22,45 |
| 4, 9, 11 | 24 | 16,97 |
A legnagyobb területet mindig a szabályos háromszög adja: azonos kerület mellett ez a legkevésbé nyújtott alak. Minél laposabb a háromszög, annál kisebb a területe – a határesetben, amikor a három pont egy egyenesre esik, a terület nullához tart, miközben a kerület változatlan.
Melyiket kérdezi a feladat?
- Kerítés, szegőléc, keret, futás a pálya körül – ez mindig kerület.
- Festék, fű, burkolólap, vetőmag, fólia – ez mindig terület.
- Ha a végeredményhez cm² vagy m² dukál, területet kell számolnod.
- Ha a feladat „körbe" szót használ, szinte biztos, hogy kerület a kérdés.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 15 cm, 20 cm és 25 cm. Mekkora a kerülete és a területe?
A szabályos háromszög kerülete 21 cm. Mekkora egy oldala?
Lehet-e két háromszögnek ugyanakkora a területe, de más a kerülete?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög kerületének és területének képlete?
A kerület K = a + b + c, vagyis a három oldal összege. A terület T = a · ma2, egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele.
Hogyan számolom ki mindkettőt, ha csak a három oldalt ismerem?
A kerülethez add össze az oldalakat, a területhez pedig használd a Héron-képletet: a félkerület a kerület fele, majd T = √s(s-a)(s-b)(s-c).
Ki lehet számolni a területet a kerületből?
Önmagában nem. Ugyanahhoz a kerülethez sokféle terület tartozhat: 24 cm kerülettel a 8-8-8 háromszög területe 27,71 cm², a 4-9-11 oldalúé viszont csak 16,97 cm².
Mi a kerület és a terület mértékegysége?
A kerület hosszúság, tehát cm, dm vagy m. A terület felület, ezért négyzetes egység: cm², dm² vagy m². A kettőt sosem szabad felcserélni.
Derékszögű háromszögnél mennyi a kerület és a terület?
A kerület itt is a három oldal összege, a terület pedig a két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. A 9-40-41 cm-es háromszögnél K = 90 cm és T = 180 cm².