Háromszög területe és kerülete – derékszögűnél is

Q: Derékszögű háromszög kerülete és területe – mi a sorrend?

Ha a két befogót adják meg, előbb a terület jön (T = (a*b)/(2)), majd a Pitagorasz-tétel adja az átfogót, és csak utána adható össze a kerület.

Kerület és terület kalkulátor (derékszögű)

Elég két adat: két befogó, befogó és átfogó, vagy oldal és szög. A kerület mellett a területet is megkapod.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Két különböző mennyiség, két külön képlet

Kerület – a három oldal összegeK = a + b + c

Terület – oldal szor magasság feleT = a · m_a2

Derékszögűben a terület – a két befogóbólT = a · b2

A kerülethez mindhárom oldal kell, a területhez viszont egy oldal és egy magasság. Ez a különbség dönti el, milyen sorrendben számolj: ha derékszögű háromszögben csak a két befogót adják meg, a terület kész van, a kerület viszont még egy Pitagorasz-tételt igényel.

Derékszögű háromszög kerülete és területe

Kidolgozott példa · Befogók: 10 cm és 24 cm

Számold ki a derékszögű háromszög területét és kerületét!

A terület azonnal jön, mert a befogók merőlegesek egymásra:T = 10 · 242 = 2402 = 120 cm²
Az átfogóhoz Pitagorasz-tétel:c² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676
Gyökvonás:c = √676 = 26 cm
Most már összeadható mindhárom oldal:K = 10 + 24 + 26 = 60 cm

EredményT = 120 cm², K = 60 cm

Ha az átfogót adják meg és az egyik befogót, ugyanez fordítva megy: előbb a Pitagorasz-tétel kivonós alakja hozza a másik befogót, azután jön a terület. Erről bővebben a derékszögű háromszög területének kiszámítása oldalon.

Pitagoraszi számhármasok – ezekkel dolgoznak a feladatok

A tankönyvi példák többsége néhány egész oldalhosszú derékszögű háromszögből építkezik. Ha felismered őket, a kerület és a terület gyökvonás nélkül is megvan.

Egész oldalú derékszögű háromszögek kerülete és területe
Befogók	Átfogó	Kerület	Terület
3 és 4	5	12	6
6 és 8	10	24	24
5 és 12	13	30	30
9 és 12	15	36	54
8 és 15	17	40	60
7 és 24	25	56	84
10 és 24	26	60	120
20 és 21	29	70	210

Figyeld meg, hogy a 6–8–10 háromszögnél a kerület és a terület számértéke véletlenül egyezik (24 és 24), az 5–12–13-nál pedig szintén (30 és 30). Ez nem jelent semmiféle összefüggést: az egyik cm, a másik cm².

Nem derékszögű háromszögnél

Egyenlő szárú háromszögnél az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, így a Pitagorasz-tétel egy lépésben megadja a magasságot – onnan mindkét mennyiség kész.

Kidolgozott példa · Egyenlő szárú: alap 30 cm, szár 25 cm

Mekkora a kerület és a terület?

A kerület azonnal összeadható:K = 30 + 25 + 25 = 80 cm
A magasság felezi az alapot, a fél alap 15 cm:m = √25² − 15² = √625 − 225
Gyökvonás:m = √400 = 20 cm
Terület az alapból és a magasságból:T = 30 · 202 = 300 cm²

EredményK = 80 cm, T = 300 cm²

Itt a sorrend fordított: a kerület volt a könnyebb, a területhez kellett külön számolni. Általános háromszögnél, ha mindhárom oldal ismert, a kerület egy összeadás, a terület pedig a Héron-képlettel jön.

Terület a kerületből – a klasszikus trükkös feladat

Van egy feladattípus, ami elsőre megoldhatatlannak tűnik: adott egy derékszögű háromszög kerülete és átfogója, és a területet kérdezik. A befogókat külön-külön nem kell kiszámolni – elég a szorzatuk.

A használt azonosság(a + b)² = a² + b² + 2abInnen 2ab = (a+b)² − c², mert derékszögűben a² + b² = c². A terület pedig épp ab2.

Kidolgozott példa · K = 40 cm, átfogó = 17 cm

Mekkora a derékszögű háromszög területe?

A két befogó összege a kerületből:a + b = 40 − 17 = 23 cm
Négyzetre emelve, és felhasználva, hogy a² + b² = 17² = 289:23² = 289 + 2ab
Innen a szorzat:2ab = 529 − 289 = 240
A terület a szorzat fele, vagyis a 2ab negyede:T = ab2 = 2404 = 60 cm²

EredményT = 60 cm² (a befogók egyébként 8 és 15 cm, de ehhez nem kellett hozzányúlni)

Mértékegység és jelölés

A kerület hosszúság: cm, m, km. A terület felület: cm², m², km².
A kettőt soha ne add össze és ne hasonlítsd össze – nem ugyanaz a mennyiségfajta.
Jelölés: K vagy k a kerület, T vagy A a terület. Magyar tankönyvekben a K és a T a megszokott.

Gyors önellenőrzés

Egy derékszögű háromszög befogói 9 és 12 cm. Mekkora a kerülete?

Az átfogó √81 + 144 = √225 = 15 cm, tehát K = 9 + 12 + 15 = 36 cm.

Egy háromszög kerülete 60 cm. Következik ebből a területe?

Nem. Ugyanahhoz a kerülethez végtelen sok különböző terület tartozhat – a 10–24–26 háromszögnél 120 cm², egy 29–29–2 cm-es tűvékony háromszögnél viszont csak 29 cm² körül.

Melyik oldalt kell kihagyni a derékszögű háromszög területképletéből?

Az átfogót. A terület a két befogó szorzatának a fele – az átfogó csak a kerületbe kerül bele.

Gyakori kérdések

Hogyan számolom ki a háromszög kerületét és területét?

A kerület a három oldal összege: K = a + b + c. A terület egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele: T = a · m_a2. Derékszögűben a terület a két befogóból közvetlenül adódik.

Derékszögű háromszög kerülete és területe – mi a sorrend?

Ha a két befogót adják meg, előbb a terület jön (T = a*b2), majd a Pitagorasz-tétel adja az átfogót, és csak utána adható össze a kerület.

Ki lehet számolni a területet a kerületből?

Általános háromszögnél nem, mert azonos kerülethez sokféle terület tartozik. Derékszögű háromszögnél viszont igen, ha az átfogót is tudod: 2ab = (K − c)² − c², a terület ennek a negyede.

Miért nem szerepel az átfogó a területképletben?

Mert a terület egy oldal és a rá merőleges magasság szorzatának a fele. Az átfogóhoz tartozó magasság nem a másik befogó, hanem egy külön szakasz: m_c = a · bc.

Lehet a kerület és a terület számértéke egyenlő?

Igen, például a 6–8–10 cm-es derékszögű háromszögnél mindkettő 24, az 5–12–13-asnál mindkettő 30. Ez véletlen egybeesés, hiszen az egyik cm-ben, a másik cm²-ben értendő.