Kerület
Háromszög kerület számítás
A képlet két másodperc, a feladatok mégis buknak: vegyes mértékegységeken, arányban megadott oldalakon és szöveges feladatokon. Ez az oldal ezekkel foglalkozik.
Röviden a válasz
A kerület számítása három lépés: egységesítsd a mértékegységeket, pótold a hiányzó oldalt, majd add össze a három oldalt (K = a + b + c).
A legtöbb hiba nem az összeadásnál van, hanem előtte: keveredik a cm és a dm, vagy valaki a magasságot is beleszámolja. Ha az oldalak csak arányban adottak (3:4:5), az arányszámok összegével oszd el a kerületet.
Kerületszámoló
Írd be a három oldalt – vagy két oldalt és a köztük lévő szöget –, és a kerület azonnal megjelenik.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A számítás menete
Kerületszámítás négy lépésben
- Írd fel, mit tudszJelöld be az ábrán vagy egy vázlaton, melyik adat melyik oldal. A magasság, a terület és a szögek nem oldalak – ezeket külön kezeld.
- Egységesítsd a mértékegységeketVálaszd a legkisebbet (általában cm), és mindent váltsd át arra. Vegyes egységekkel soha ne adj össze.
- Pótold a hiányzó oldaltDerékszögűben Pitagorasz-tétellel, egyenlő szárúban a másik szárral, szabályosban semmivel – ott egy oldal is elég.
- Add össze, és írd oda az egységetA kerület hosszúság: cm, dm vagy m. Ha kell, a végén válts át a feladat által kért egységre.
Vegyes mértékegységek – a leggyakoribb csapda
A feladatok szándékosan kevernek egységeket. Az összeadás előtt mindent ugyanabba az egységbe kell váltani, különben értelmetlen számot kapsz.
Kidolgozott példa · a = 24 dm, b = 1,8 m, c = 90 cm
Mekkora a háromszög kerülete méterben?
- Váltsd át mindet centiméterre. Egy dm 10 cm, egy m 100 cm:a = 24 · 10 = 240 cm
- A második oldal:b = 1,8 · 100 = 180 cm
- A harmadik már cm-ben van:c = 90 cm
- Add össze:K = 240 + 180 + 90 = 510 cm
- Váltsd át méterre:K = 5,1 m
EredményK = 510 cm = 5,1 m
| Egység | Hány cm | Hány m |
|---|---|---|
| 1 mm | 0,1 cm | 0,001 m |
| 1 cm | 1 cm | 0,01 m |
| 1 dm | 10 cm | 0,1 m |
| 1 m | 100 cm | 1 m |
Ha az oldalak csak arányban adottak
Gyakori feladattípus: „az oldalak aránya 3 : 4 : 5, a kerület 72 cm”. Ilyenkor az arányszámok összege annyi egyenlő részre osztja a kerületet, ahány egységből az arány áll.
Kidolgozott példa · Oldalak aránya 3 : 4 : 5, K = 72 cm
Mekkorák az oldalak?
- Az arányszámok összege:3 + 4 + 5 = 12 rész
- Egy rész értéke:7212 = 6 cm
- Az oldalak:a = 3 · 6 = 18 cm, b = 4 · 6 = 24 cm, c = 5 · 6 = 30 cm
- Ellenőrzés:18 + 24 + 30 = 72 cm
Eredménya = 18 cm, b = 24 cm, c = 30 cm
Szöveges feladat: kerítés a kertben
Kidolgozott példa · Háromszög alakú telek: 42 m, 56 m és 70 m
Hány méter kerítés kell, ha a hosszabbik oldalon egy 4 m széles kapu is lesz?
- A telek kerülete:K = 42 + 56 + 70 = 168 m
- A kapu helyére nem kell kerítés, ezért vond le:168 − 4 = 164 m
Eredmény164 m kerítés kell.
A szöveges feladatokban a kerület mindig ott jelenik meg, ahol valamit körbeveszünk: kerítés, szegőléc, keret, szalag, futópálya. Ha a feladat felületről szól (fű, festék, burkolat), akkor területet kérdez – a kettő különbségéről a háromszög kerülete és területe oldalon olvashatsz.
Amikor egy oldal hiányzik
| Adott | Mit csinálj | Képlet |
|---|---|---|
| Szabályos, egy oldal | szorozz hárommal | K = 3a |
| Egyenlő szárú: alap és szár | a szárat vedd kétszer | K = a + 2b |
| Derékszögű: két befogó | Pitagorasz-tétel az átfogóra | c = √a2 + b2 |
| Derékszögű: átfogó és befogó | Pitagorasz-tétel kivonással | b = √c2 − a2 |
| Két oldal és a köztük lévő szög | koszinusztétel | c = √a2 + b2 − 2ab · cos γ |
Az utolsó két sor haladóbb eset; ezeket részletesen a kerület számítás háromszög oldalon vezetjük végig, a derékszögű esetet pedig a derékszögű háromszög kerülete oldalon.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 35 mm, 4 cm és 0,5 dm. Mekkora a kerülete centiméterben?
Az oldalak aránya 2 : 3 : 4, a kerület 45 cm. Mekkora a leghosszabb oldal?
Egy háromszög kerülete 30 cm, két oldala 9 cm és 12 cm. Mekkora a harmadik?
Gyakori kérdések
Hogyan kell háromszög kerületét számolni?
Add össze a három oldalt: K = a + b + c. Előtte egységesítsd a mértékegységeket, és ha egy oldal hiányzik, pótold – derékszögűben Pitagorasz-tétellel.
Hogyan számolom ki a háromszög kerületét és területét egyszerre?
A kerület a három oldal összege. A területhez oldal és magasság kell (T = a · ma2), vagy három oldalból a Héron-képlet. A kerület fele, a félkerület éppen a Héron-képlet kiindulópontja.
Mi a teendő, ha az oldalak különböző mértékegységben vannak?
Válts át mindent ugyanarra az egységre, mielőtt összeadnád. A 24 dm, 1,8 m és 90 cm oldalú háromszög kerülete 240 + 180 + 90 = 510 cm, vagyis 5,1 m.
Hogyan számolok kerületet, ha csak az oldalak aránya ismert?
Add össze az arányszámokat, oszd el velük a kerületet, és az így kapott egy rész értékét szorozd vissza. 3 : 4 : 5 arány és 72 cm kerület esetén az oldalak 18, 24 és 30 cm.
Beleszámít a magasság a kerületbe?
Nem. A kerület csak a három oldalt tartalmazza. A magasság a háromszög belsejében futó merőleges szakasz, kizárólag a területszámításban van szerepe.