Kerület
Háromszög kerülete – képlet
Egy oldal, ahol az összes kerületképlet egymás mellett áll: az alapalak, az átrendezései, a típusonkénti rövidítések és a félkerület, amivel a területképletek dolgoznak.
Röviden a válasz
A háromszög kerületének képlete K = a + b + c. Ebből átrendezéssel bármelyik oldal kifejezhető: a = K − b − c.
Speciális esetekben rövidül: szabályosnál K = 3a, egyenlő szárúnál K = a + 2b, derékszögűnél két befogóból K = a + b + √a2 + b2. A kerület fele a félkerület: s = K2, ezzel dolgozik a Héron-képlet.
Kerületképlet a gyakorlatban
Írd be a három oldalt – a kerület mellett a félkerületet igénylő adatok (terület, beírt kör sugara) is megjelennek.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az alapképlet és a jelölések
Az oldalak jelölése rögzített: a = BC, b = CA, c = AB, vagyis minden oldal a vele szemközti csúcs kisbetűjét kapja. Ezért nem mindegy, melyik betűt hova írod, ha a feladat ábrával dolgozik – az összeadás eredménye ugyan ugyanaz, de a hiányzó oldal keresésekor már számít.
A képlet átrendezései
A kerületképlet egyetlen egyenlet három ismeretlennel, ezért bármelyik oldalra megoldható. Ezeket az alakokat érdemes külön is felírni, mert a feladatok fele visszafelé kérdez:
Kerületképletek háromszögtípusonként
| Típus | Képlet | Elég hozzá |
|---|---|---|
| Általános | K = a + b + c | mindhárom oldal |
| Szabályos | K = 3a | egy oldal |
| Szabályos, magasságból | K = 2 · √3 · m | a magasság |
| Egyenlő szárú | K = a + 2b | alap és szár |
| Derékszögű, két befogóból | K = a + b + √a2 + b2 | két befogó |
| Két oldal és közbezárt szög | K = a + b + √a2 + b2 − 2ab · cos γ | két oldal és egy szög |
A típusonkénti levezetéseket külön oldalakon találod: szabályos háromszög kerülete, egyenlő szárú háromszög kerülete, derékszögű háromszög kerülete.
A félkerület – a kerület fele, ami a területképletekben él
A képletgyűjteményekben gyakran feltűnik az s betű: ez a félkerület, vagyis a kerület fele. Nem külön fogalom, csak rövidítés, de két fontos képlet épül rá.
Kidolgozott példa · a = 6 cm, b = 9 cm, c = 11 cm
Számold ki a kerületet, a félkerületet, a területet és a beírt kör sugarát!
- A kerület:K = 6 + 9 + 11 = 26 cm
- A félkerület:s = 262 = 13 cm
- Héron-képlet:T = √13 · 7 · 4 · 2 = √728 = 26,98 cm2
- A beírt kör sugara:r = 26,9813 = 2,08 cm
- Ellenőrzés visszafelé:K = 2 · 26,982,08 = 26 cm
EredményK = 26 cm, s = 13 cm, T = 26,98 cm², r = 2,08 cm
Amit a képlet nem árul el
A kerületképletből nem következik a terület, és fordítva sem. Ugyanahhoz a 26 cm-es kerülethez tartozhat a 6-9-11 háromszög (26,98 cm²) és a 8-9-9 is (32,25 cm²). A kerület csak a határvonal hosszát rögzíti, az alakot nem.
Gyors önellenőrzés
Fejezd ki a b oldalt a kerületképletből!
Egy háromszög kerülete 30 cm. Mennyi a félkerülete?
Egy háromszög területe 36 cm², a beírt kör sugara 3 cm. Mekkora a kerület?
Miért nem használható a K = 3a képlet egyenlő szárú háromszögre?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög kerületének képlete?
K = a + b + c, vagyis a három oldal összege. Ez minden háromszögre igaz, típustól függetlenül.
Hogyan fejezem ki egy oldalt a kerületképletből?
Vond ki a másik kettőt: a = K − b − c. Szabályosnál a = K3, egyenlő szárúnál a szár b = K − a2.
Mit jelent az s betű a képletekben?
A félkerületet: s = K2 = a+b+c2. A Héron-képlet és a beírt kör sugarának képlete is ezzel dolgozik.
Van külön kerületképlet a derékszögű háromszögre?
Nincs, ott is K = a + b + c. Két befogóból viszont egy lépésben is felírható: K = a + b + √a2 + b2.
Kiszámolható a kerület a területből?
Önmagában nem, de ha a beírt kör sugarát is ismered, igen: K = 2 · Tr. Például 36 cm² terület és 3 cm sugár esetén a kerület 24 cm.