Kerület
Szabályos háromszög kerülete
Egyetlen adatból az összes többi következik: az oldalból a kerület, a kerületből az oldal, sőt a magasságból és a területből is kijön mindkettő.
Röviden a válasz
A szabályos (egyenlő oldalú) háromszög kerülete az oldal háromszorosa: K = 3a. Ha például az oldal 12 cm, akkor a kerület 3 · 12 = 36 cm.
Visszafelé ugyanez: az oldal a kerület harmada, a = K3. A magasságból a = 2 · m√3, a területből pedig a = √4 · T√3 adja az oldalt, onnan már csak szorozni kell hárommal.
Szabályos háromszög kerület kalkulátor
Egyetlen adat elég: oldal, magasság, kerület vagy terület – a kerület kiemelve jelenik meg.
Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.
- a oldal
- –
- ma magasság
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A kerület képlete és hogy miért ilyen egyszerű
Bármely háromszög kerülete a három oldal összege: K = a + b + c. A szabályos háromszögben azonban mindhárom oldal ugyanakkora, tehát ugyanazt az a-t adod össze háromszor. Ebből lesz a szorzás:
A szabályos háromszög másik neve egyenlő oldalú háromszög: mindhárom oldala egyenlő, és emiatt mindhárom szöge 60°. Ez a legszimmetrikusabb háromszög, ezért minden adata egyetlen számból, az oldalból következik.
Kerület az oldalból – a legegyszerűbb eset
Kidolgozott példa · a = 12 cm
Mekkora a szabályos háromszög kerülete?
- Írd fel a képletet:K = 3 · a
- Helyettesíts be:K = 3 · 12 = 36 cm
EredményK = 36 cm
Ennyi az egész. A hiba szinte mindig nem itt, hanem a visszafelé számolásnál vagy az egységeknél csúszik be.
Oldal a kerületből – visszafelé
Ha a kerületet adják meg, és az oldalra kérdeznek, oszd el hárommal. A K = 3a egyenletet elosztod 3-mal, és megkapod:
Kidolgozott példa · K = 45 cm
Mekkora egy oldal, és mekkora a magasság?
- Az oldal a kerület harmada:a = 453 = 15 cm
- A szabályos háromszög magassága:m = a · √32 = 15 · 1,7322
- Vagyis:m = 12,99 cm
Eredménya = 15 cm, m = 12,99 cm
Kerület a magasságból
A szabályos háromszög magassága felezi az alapot, így egy 30°–60°–90°-os derékszögű háromszög jön létre. Ebből Pitagorasz-tétellel adódik a magasság és az oldal kapcsolata:
Kidolgozott példa · m = 8,66 cm
Mekkora a kerület, ha csak a magasságot ismered?
- Először az oldal:a = 2 · 8,661,732 = 10 cm
- Innen a kerület:K = 3 · 10 = 30 cm
EredményK = 30 cm
Kerület a területből
A szabályos háromszög területe T = a2 · √34. Ezt az oldalra rendezve, majd hárommal szorozva megkapod a kerületet is.
Kidolgozott példa · T = 62,35 cm²
Mekkora a háromszög kerülete?
- Rendezd az oldalra:a2 = 4 · 62,351,732 = 144
- Gyökvonás:a = √144 = 12 cm
- A kerület:K = 3 · 12 = 36 cm
EredményK = 36 cm
Táblázat: oldal, kerület, magasság, terület
| Oldal (cm) | Kerület (cm) | Magasság (cm) | Terület (cm²) |
|---|---|---|---|
| 3 | 9 | 2,60 | 3,90 |
| 5 | 15 | 4,33 | 10,83 |
| 6 | 18 | 5,20 | 15,59 |
| 10 | 30 | 8,66 | 43,30 |
| 12 | 36 | 10,39 | 62,35 |
| 15 | 45 | 12,99 | 97,43 |
Figyeld meg: az oldal duplázásakor a kerület is duplázódik, a terület viszont négyszereződik. A kerület egyenesen arányos az oldallal, a terület az oldal négyzetével.
Gyakori hibák és buktatók
- A szabályos és az egyenlő szárú háromszög összekeverése. A szabályosnál mind a három oldal egyenlő (K = 3a), az egyenlő szárúnál csak kettő (K = a + 2b) – erről az egyenlő szárú háromszög kerülete oldalon olvashatsz.
- Vegyes mértékegységek. Ha az egyik adat mm-ben, a másik cm-ben van, előbb váltsd át mindet ugyanarra.
- A magasság használata oldal helyett. A magasság nem oldal, tehát nem a kerület része.
- Kerekítés túl korán. A √3 = 1,7320508… értékkel dolgozz végig, és csak a végén kerekíts.
Mikor melyik kerületképlet kell?
| Háromszög | Kerület képlete | Mit kell tudnod |
|---|---|---|
| Szabályos | K = 3a | egyetlen oldal |
| Egyenlő szárú | K = a + 2b | alap és szár |
| Derékszögű | K = a + b + c | két oldal, a harmadik Pitagorasszal |
| Általános | K = a + b + c | mindhárom oldal |
Az általános eljárást a háromszög kerülete oldalon írjuk le, a derékszögű esetet pedig – ahol előbb a hiányzó oldalt kell kiszámolni – a derékszögű háromszög kerülete oldal tárgyalja.
Gyors önellenőrzés
Egy szabályos háromszög oldala 9 cm. Mekkora a kerülete?
Egy szabályos háromszög kerülete 51 cm. Mekkora egy oldala?
Ha megduplázod a szabályos háromszög oldalát, hányszorosára nő a kerülete?
Egy szabályos háromszög magassága 5,20 cm. Mekkora a kerülete?
Gyakori kérdések
Mi a szabályos háromszög kerületének képlete?
K = 3a, ahol a egyetlen oldal hossza. Mivel mindhárom oldal egyenlő, elég egyet ismerned. Például 12 cm-es oldalnál K = 36 cm.
Hogyan számolom ki az oldalt, ha a kerületet tudom?
Oszd el a kerületet hárommal: a = K3. Ha K = 45 cm, akkor az oldal 15 cm.
Ugyanaz a szabályos és az egyenlő oldalú háromszög?
Igen, a kettő ugyanaz. Mindhárom oldala egyenlő, mindhárom szöge 60°, és három szimmetriatengelye van.
Ki lehet számolni a kerületet a magasságból?
Igen. Előbb az oldal: a = 2 · m√3, majd K = 3a. Egy lépésben: K = 2 · √3 · m. Ha m = 8,66 cm, akkor K = 30 cm.
Mennyi a szabályos háromszög kerülete, ha a területe ismert?
A területből a = √4 · T√3, ebből K = 3a. Például T = 62,35 cm² esetén az oldal 12 cm, a kerület 36 cm.
Mi a kerület mértékegysége?
Hosszúságegység: mm, cm, dm vagy m. A területtel ellentétben soha nem négyzetes egység.