Szögszámítás
A háromszög szögei
Egy háromszögnek három belső és három külső szöge van. Ez az oldal rendet rak közöttük: melyik hol van, hogyan jelöljük, és mit lehet belőlük kiolvasni.
Röviden a válasz
Minden háromszögnek három belső szöge van – ezek összege 180° –, és három külső szöge, amelyek összege 360°. Egy csúcsnál a belső és a külső szög egymás mellékszöge, tehát együtt 180°.
A szögek jelölése az oldalakhoz igazodik: α az A csúcsnál van, és a vele szemközti oldal az a. A nagyobb oldallal mindig nagyobb szög áll szemben.
Szögkalkulátor
Add meg a három oldalt (vagy három tetszőleges adatot), és megkapod mindhárom szöget.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Jelölés: melyik betű hova tartozik
A csúcsokat nagybetűvel (A, B, C), az oldalakat kisbetűvel (a, b, c), a szögeket görög betűvel (α, β, γ) jelöljük. A rendszer egyszerű: a szög és a vele azonos betűjelű oldal egymással szemközt van.
- α (alfa) az A csúcsnál – szemközt vele az a = BC oldal.
- β (béta) a B csúcsnál – szemközt vele a b = CA oldal.
- γ (gamma) a C csúcsnál – szemközt vele a c = AB oldal.
Belső és külső szögek
A belső szög az, amelyik a háromszögön belül van a két oldal között. A külső szög ugyanannál a csúcsnál keletkezik, ha az egyik oldalt meghosszabbítod: a belső szög mellékszöge.
| Állítás | Érték | Hol használod |
|---|---|---|
| Belső szögek összege | 180° | hiányzó szög kiszámítása |
| Külső szögek összege | 360° | sokszögtételek, ellenőrzés |
| Belső és külső egy csúcsnál | 180° | átváltás a kettő között |
| Külső szög tétele | a két nem mellette fekvő belső szög összege | gyors szögkeresés |
| Derékszögű háromszög hegyesszögei | 90° | pótszög-számítás |
A külső szögek részletes tárgyalása – a külső szög tételének bizonyításával együtt – a háromszög külső szögei oldalon található.
Mekkorák lehetnek a szögek?
Minden belső szög nagyobb 0°-nál és kisebb 180°-nál, az összegük pedig kötött – a belső szögek összege mindig 180°. Ebből néhány kemény szabály következik:
- Legfeljebb egy szög lehet derékszög vagy tompaszög.
- Minden háromszögnek van legalább két hegyesszöge.
- Ha az egyik szög 60°-nál kisebb, akkor van 60°-nál nagyobb szög is – különben nem jönne ki a 180°.
- Három egyenlő szög csak 60°–60°–60° lehet: ez a szabályos háromszög.
| Típus | Szögek | Példa |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | mindhárom szög < 90° | 50°, 60°, 70° |
| Derékszögű | egy szög = 90° | 90°, 35°, 55° |
| Tompaszögű | egy szög > 90° | 110°, 40°, 30° |
| Szabályos | mindhárom 60° | 60°, 60°, 60° |
| Egyenlő szárú | két szög egyenlő | 100°, 40°, 40° |
A szögek sorrendje elárulja az oldalakét
A háromszög egyik legjobban használható tulajdonsága: nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, és fordítva. Ez akkor is működik, ha egyetlen hosszúságot sem ismersz.
Kidolgozott példa · α = 40°, β = 60°
Mekkora a harmadik szög, és melyik a leghosszabb oldal?
- A harmadik szög a belsőszög-összegből:γ = 180° − 40° − 60° = 80°
- A szögek sorrendje növekvő irányban:α < β < γ → 40° < 60° < 80°
- Az oldalak sorrendje ugyanez, mert mindegyik a saját szögével szemközt van:a < b < c
Eredményγ = 80°, és a leghosszabb oldal a c, mert a legnagyobb szöggel áll szemben.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög szögei 25°, 35° és 120°. Milyen típusú, és melyik a legrövidebb oldala?
Mekkora az a külső szög, amely egy 72°-os belső szög mellett van?
Lehet-e egy háromszögnek 0°-os szöge?
Gyakori kérdések
Hány szöge van egy háromszögnek?
Három belső szöge van, és minden csúcsnál egy-egy külső szög is értelmezhető, tehát összesen három külső szöge. A belsők összege 180°, a külsőké 360°.
Mekkorák a derékszögű háromszög szögei?
Az egyik szög pontosan 90°, a másik kettő hegyesszög, és együtt szintén 90°-ot adnak. Ha az egyik hegyesszög 35°, a másik 55°.
Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei?
A két száron fekvő – vagyis az alapon lévő – szög egyenlő. Ha a szárszög α, akkor mindkét alapon fekvő szög 180° − α2 nagyságú.
Mi a különbség a belső és a külső szög között?
A belső szög a háromszögön belül, két oldal között van. A külső szög ugyanannál a csúcsnál keletkezik az egyik oldal meghosszabbításával, és a belső szög mellékszöge: a kettő összege 180°.
Melyik a háromszög legnagyobb szöge?
Mindig a leghosszabb oldallal szemközti. Ez fordítva is igaz: a legrövidebb oldal a legkisebb szöggel áll szemben.