MatematikaMódszertan– főoldal

Nevezetes vonalak és pontok

A háromszög köré írható kör egyenlete

Két bevált út vezet célhoz: a felezőmerőlegesek metszéspontja, vagy az x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 alakba behelyettesítés. Mindkettőt végigszámoljuk ugyanazon a háromszögön.

Frissítve: 3 perc olvasás11–12. osztály

Röviden a válasz

A háromszög köré írható kör egyenlete (x − u)2 + (y − v)2 = R2, ahol (u; v) a köré írható kör középpontja, R pedig a sugara. A középpontot két oldal felezőmerőlegesének metszéspontjaként kapod meg, a sugarat pedig a középpont és bármelyik csúcs távolsága adja.

Ha a három csúcs koordinátái adottak, a másik szokásos út az x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 általános alak: behelyettesíted mind a három pontot, és egy háromismeretlenes lineáris egyenletrendszert oldasz meg.

A sugár oldalhosszakból

A kalkulátorban a lenti példa háromszögének oldalai állnak: $sqrt(50)$, $sqrt(80)$ és $sqrt(90)$ egység. A kiemelt $R = 5$ pontosan az az érték, amelyik az egyenlet jobb oldalán négyzetre emelve megjelenik.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Bemeneti adatok
a = 7,07 cmb = 8,94 cmc = 9,49 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    Mit kell megtalálni?

    A köregyenlet két adatot tartalmaz: a középpontot és a sugarat. A háromszög köré írható kör esetében a középpont az a pont, amely mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van, a sugár pedig ez a közös távolság.

    A kör egyenlete középponti alakban(x − u)2 + (y − v)2 = R2A középpont (u; v) – figyelj a mínuszra: a (x − 3)2 tag középpontja u = 3, nem -3.

    A középpont megkeresésének kulcsa: aki egyenlő távol van A-tól és B-től, az rajta van az AB szakasz felezőmerőlegesén. Két felezőmerőleges metszéspontja tehát mindhárom csúcstól egyenlő távol van – ez a köré írható kör középpontja. Ugyanez a gondolat geometriai oldalról a háromszög köré írható kör oldalon van kifejtve.

    Első módszer: felezőmerőlegesek metszéspontja

    A felezőmerőleges egyenletét két adatból írod fel: átmegy a szakasz felezőpontján, és normálvektora maga a szakasz irányvektora. Ez az n1(x − x0) + n2(y − y0) = 0 alak.

    Kidolgozott példa · A(−1; −1), B(8; 2), C(3; 7)

    Írd fel a háromszög köré írható kör egyenletét!

    1. Az AB szakasz felezőpontja és irányvektora:FAB(3,5; 0,5), AB(9; 3)
    2. Az AB felezőmerőlegese (a 3-mal való egyszerűsítés után):9(x − 3,5) + 3(y − 0,5) = 0 → 3x + y = 11
    3. Az AC szakasz felezőpontja és irányvektora:FAC(1; 3), AC(4; 8)
    4. Az AC felezőmerőlegese (4-gyel egyszerűsítve):4(x − 1) + 8(y − 3) = 0 → x + 2y = 7
    5. Az egyenletrendszer megoldása – az elsőből y = 11 − 3x, ezt a másodikba írva:x + 2(11 − 3x) = 7 → -5x = -15 → x = 3
    6. Visszahelyettesítve:y = 11 − 3 · 3 = 2
    7. A sugár az O(3; 2) középpont és az A csúcs távolsága:R = √(3 + 1)2 + (2 + 1)2 = √16 + 9 = 5

    EredményA kör egyenlete: (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25.

    Második módszer: az általános köregyenlet

    Ha nem szeretsz felezőmerőlegeseket írogatni, indulhatsz az általános alakból is. Minden kör felírható x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 formában; ide behelyettesíted a három csúcsot, és egy lineáris egyenletrendszert kapsz D-re, E-re és F-re.

    Kidolgozott példa · Ugyanaz a háromszög az általános alakkal

    Határozd meg a D, E, F együtthatókat az A(−1; −1), B(8; 2), C(3; 7) pontokból!

    1. Behelyettesítés az A ponttal:1 + 1 − D − E + F = 0
    2. A B ponttal:64 + 4 + 8D + 2E + F = 0
    3. A C ponttal:9 + 49 + 3D + 7E + F = 0
    4. A második egyenletből kivonva az elsőt:66 + 9D + 3E = 0 → 3D + E = -22
    5. A harmadikból kivonva az elsőt:56 + 4D + 8E = 0 → D + 2E = -14
    6. Ebből D = -6 és E = -4, majd az első egyenletből:F = -2 + D + E = -12
    7. Teljes négyzetté alakítva jutunk vissza a középponti alakhoz:x2 − 6x + y2 − 4y − 12 = 0 → (x − 3)2 + (y − 2)2 = 12 + 9 + 4

    EredményUgyanaz jött ki: (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25, tehát O(3; 2) és R = 5.

    Ellenőrzés oldalhosszakkal

    Van egy teljesen független ellenőrzési lehetőség: a sugár az oldalhosszakból és a területből is megkapható. Ehhez nem kell koordinátageometria, csak a klasszikus képlet.

    A köré írható kör sugaraR = a · b · c4 · T

    A példa háromszögében az oldalak √50 = 7,07, √80 = 8,94 és √90 = 9,49 egység, a terület pedig 30 területegység. Így R = 7,07 · 8,94 · 9,494 · 30 = 600120 = 5 – pontosan az, amit a koordinátákból is kaptunk. A sugár további képleteiről a háromszög köré írható kör sugara oldalon olvashatsz.

    ORabcABC
    A háromszög és a köré írt kör: a középpont mindhárom csúcstól R = 5 egységre van.

    Gyors önellenőrzés

    Egy kör egyenlete (x + 2)2 + (y − 5)2 = 9. Hol a középpontja és mekkora a sugara?
    A középpont (-2; 5), a sugár R = 3. Az (x + 2) tag (x − (-2))-t jelent, ezért negatív az első koordináta.
    Miért elég két felezőmerőleges, ha három oldal van?
    Mert a két felezőmerőleges metszéspontja már mindhárom csúcstól egyenlő távol van, tehát szükségszerűen rajta van a harmadik felezőmerőlegesen is. A harmadik így csak ellenőrzésre jó.
    Az x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0 egyenletű kör sugara mekkora?
    Teljes négyzetté alakítva (x − 2)2 + (y + 3)2 = 12 + 4 + 9 = 25, tehát R = 5 és a középpont (2; -3).

    Gyakori kérdések

    Hogyan írom fel a háromszög köré írható kör egyenletét?

    Keresd meg két oldal felezőmerőlegesének metszéspontját – ez a középpont (u; v) –, majd számold ki a távolságát bármelyik csúcstól. Az egyenlet ezután (x − u)2 + (y − v)2 = R2.

    Mi a köré írható kör középpontja koordinátákkal?

    Az a pont, amely mindhárom csúcstól egyenlő távolságra van. Két felezőmerőleges egyenletéből álló kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldásaként kapod meg.

    Melyik módszer a gyorsabb: a felezőmerőleges vagy az általános köregyenlet?

    Ha a koordináták egészek és a felezőpontok is szépek, a felezőmerőleges gyorsabb. Ha törtes koordinátákkal dolgozol, gyakran kényelmesebb az x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 alak, mert csak lineáris egyenleteket kell megoldanod.

    Hogyan ellenőrzöm, hogy jó lett-e az egyenlet?

    Helyettesítsd be a harmadik csúcsot: a bal oldalnak pontosan R2-et kell adnia. Független ellenőrzés az R = a · b · c4 · T képlet is.

    Mi az egyenlet derékszögű háromszög esetén?

    A középpont az átfogó felezőpontja, a sugár az átfogó fele. Például A(1; 1), B(7; 1), C(1; 9) esetén a középpont (4; 5), a sugár 5, az egyenlet pedig (x − 4)2 + (y − 5)2 = 25.

    Hova tovább?

    Köré írható körMinden háromszögnek pontosan egy köré írható köre van. Hol a középpontja, miért az oldalfelező m…Köré írható kör sugaraA háromszög köré írható kör sugara R = abc/(4T), vagy a szinusztételből R = a/(2·sin α). Szabály…Köré írható kör középpontjaA köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Hol van hegyes-, derék- …Súlyvonal egyenleteA súlyvonal egyenlete négy lépésben: oldalfelező pont, irányvektor, normálvektor, behelyettesíté…Derékszögű háromszög köré írt köreDerékszögű háromszögben a köré írható kör sugara az átfogó fele: R = c/2. Miért igaz ez a Thalés…Köré írható kör szerkesztéseKét oldalfelező merőleges körzős szerkesztése, és megvan a háromszög köré írható körének középpo…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.