Nevezetes vonalak és pontok
Háromszög szögfelezője
Mit vág ketté, hol metszi a szemközti oldalt, és hogyan szerkeszted meg körzővel? Itt a szögfelező-tétel és a beírt kör kapcsolata is megvan, konkrét számokkal.
Röviden a válasz
A háromszög szögfelezője az a szakasz, amely egy csúcsból indul, felezi az ott lévő belső szöget, és a szemközti oldalig tart. Minden háromszögnek három belső szögfelezője van, és ezek mindig egy pontban, a beírt kör középpontjában metszik egymást.
A szögfelező a szemközti oldalt a másik két oldal arányában osztja ketté: BDDC = cb. Ez a szögfelező-tétel, dolgozatban ez a leggyakoribb kérdés róla.
Szögfelezők metszéspontja: a beírt kör sugara
Írd be a három oldalt – a kiemelt $r$ érték annak a körnek a sugara, amelynek a középpontjában a három szögfelező találkozik.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a háromszög szögfelezője?
A szögfelező egy csúcsból induló félegyenes, amely az ott lévő belső szöget két egyenlő szögre bontja. A háromszögben ezt a félegyenest addig rajzoljuk, amíg el nem éri a szemközti oldalt – ezt a szakaszt hívjuk a háromszög szögfelezőjének, és fa, fb, fc jelöli aszerint, melyik csúcsból indul.
A szögfelező nem ugyanaz, mint a magasság vagy a súlyvonal. A magasság merőlegesen érkezik, a súlyvonal az oldal felezőpontjába megy, a szögfelező pedig a szöget vágja félbe – és ez általában három különböző pontban éri az oldalt.
A szögfelező-tétel: milyen arányban vágja ketté az oldalt?
A szögfelező nem felezi a szemközti oldalt (az a súlyvonal dolga). A keletkező két darab úgy aránylik egymáshoz, ahogy a szöget közrefogó két oldal:
Ez azért működik, mert a szögfelező két oldalán keletkező részháromszögek magassága a D pontból ugyanaz, területük aránya pedig egyszerre adódik az alapok és a szárak arányából. A gyakorlatban ez egy egyszerű aránypár.
Kidolgozott példa · b = 6 cm, c = 9 cm, a = 10 cm
Az A csúcs szögfelezője a BC oldalt a D pontban metszi. Milyen hosszú a BD és a DC szakasz?
- A szögfelező-tétel szerint a két darab aránya:BDDC = cb = 96 = 32
- Az arány összesen 3 + 2 = 5 egyenlő részt jelent, és ez a teljes a = 10 cm oldal. Egy rész tehát:103 + 2 = 2 cm
- A B-hez közelebbi darab 3 rész:BD = 3 · 2 = 6 cm
- A maradék:DC = 2 · 2 = 4 cm
EredményBD = 6 cm, DC = 4 cm (összegük valóban 10 cm).
A szögfelező hossza
Ha nem az osztási arányra, hanem magára a szakasz hosszára van szükséged, erre is van kész képlet:
A fenti példa adataival: fa = √6 · 9 · (1 − (1015)2) = √54 · 59 = √30 = 5,48 cm. Jó ellenőrzés, hogy a szögfelező mindig rövidebb a két szomszédos oldal mértani közepénél, itt √6 · 9 = 7,35 cm-nél.
A szögfelező szerkesztése körzővel
Az A csúcsnál lévő szög felezése
- Körív a csúcs körülSzúrd a körzőt az A csúcsba, és egy tetszőleges sugárral metszd el a szög mindkét szárát. Két metszéspontot kapsz, jelöld őket P-vel és Q-val.
- Két egyforma körívUgyanazzal a körzőnyílással (vagy bármely elég nagy, de azonos sugárral) rajzolj körívet P és Q körül is. Ezek metszik egymást.
- A félegyenes megrajzolásaKösd össze az A csúcsot a két körív metszéspontjával – ez a szögfelező. Ahol a szemközti oldalt metszi, ott van a D pont.
- EllenőrzésSzögmérővel mérd meg a két keletkezett szöget: egyformáknak kell lenniük. Vagy nézd meg, hogy a BD : DC arány stimmel-e a szomszédos oldalak arányával.
Szögfelező a derékszögű háromszögben
Derékszögű háromszögben semmi különleges nem történik a szögfelezőkkel – csak a számok kényelmesek. A derékszög felezője például pontosan 45°-os szöget zár be mindkét befogóval, és a szemközti átfogót a két befogó arányában osztja ketté.
A három szögfelező itt is egy pontban metszi egymást, és ez a pont a beírt kör középpontja. Derékszögű háromszögben a beírt kör sugarára külön egyszerű képlet van:
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög: a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm
Hol metszik egymást a szögfelezők, azaz mekkora a beírt kör sugara?
- A befogókból és az átfogóból:r = 6 + 8 − 102 = 42
- Vagyis:r = 2 cm
- Ellenőrzés a terület felől (T = 24 cm², félkerület s = 12 cm):r = Ts = 2412 = 2 cm
EredményA szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól 2 cm-re van.
Arról, hogy a három szögfelező miért találkozik szükségszerűen egyetlen pontban, és milyen szögek keletkeznek ott, a háromszög szögfelezői oldalon olvashatsz részletesen.
Szögfelező, súlyvonal, magasság – mi a különbség?
| Vonal | Mit tesz | Metszéspontjuk |
|---|---|---|
| Szögfelező | Felezi a csúcsnál lévő szöget, az oldalt c : b arányban osztja. | A beírt kör középpontja |
| Súlyvonal | A szemközti oldal felezőpontjába megy. | A súlypont |
| Magasság | Merőlegesen érkezik a szemközti oldal egyenesére. | A magasságpont |
| Oldalfelező merőleges | Nem a csúcsból indul: az oldalt merőlegesen felezi. | A köré írható kör középpontja |
Egyetlen esetben esik mindhárom egybe: szabályos háromszögben, illetve egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó vonalaknál. Minden más háromszögben a három vonal külön halad. A teljes áttekintést a háromszög nevezetes vonalai oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszögben b = 4 cm, c = 8 cm, és az A csúcs szögfelezője a 9 cm-es a oldalt metszi. Milyen hosszúak a keletkező darabok?
Felezi-e a szögfelező a szemközti oldalt?
Hány fokos szöget zár be egymással a derékszög két „fele" a szögfelező mentén?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög szögfelezője?
Az a szakasz, amely egy csúcsból indul, két egyenlő részre osztja az ottani belső szöget, és a szemközti oldalig tart. Minden pontja egyenlő távolságra van a szög két szárától.
Hány szögfelezője van egy háromszögnek?
Három belső szögfelezője van, minden csúcsból egy. Ezek egyetlen közös pontban metszik egymást, amely a beírt kör középpontja. (Külső szögfelezőkből további három van.)
Milyen arányban osztja a szögfelező a szemközti oldalt?
A szögfelező-tétel szerint a két darab úgy aránylik, mint a szöget közrefogó két oldal: BDDC = cb. Például b = 6 cm és c = 9 cm mellett a 10 cm-es oldal 6 és 4 cm-es darabokra esik.
Hogyan szerkesztem meg a háromszög szögfelezőjét?
Szúrd a körzőt a csúcsba, és metszd el mindkét szárat egy körívvel. A két metszéspont körül azonos sugarú körívet rajzolva kapsz egy metszéspontot; a csúcsot ezzel összekötve megkapod a szögfelezőt.
Mi a szögfelező szerepe a derékszögű háromszögben?
A derékszög felezője 45°-os szöget zár be mindkét befogóval. A három szögfelező metszéspontja itt is a beírt kör középpontja, amelynek sugara a befogókból egyszerűen adódik: r = a + b − c2.
Mi a különbség a szögfelező és a súlyvonal között?
A súlyvonal a szemközti oldal felezőpontjába megy, a szögfelező viszont a szöget felezi, és az oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. Csak akkor esnek egybe, ha a két szomszédos oldal egyenlő.